abc 추측

제목만 봐서는 abc 추측이 무슨 abc 초콜렛을 이야기하는지 abc 마트를 이야기하는지 감이 잡히지 않을 것이다. 근데 대충 '추측'이 들어갔으니 뭔가 수학적인 이야기가 나오지 않을까 '추측'했다면 그래도 눈치가 있는 것이다. 그렇다. 이번엔 수학 이야기를 하고자 한다. 비록 입시 카페이지만, 고등학생도 이해할만한 내용을 가져와봤다. 여러가지 현란한 대학 내용이 있지만, 표현방법이나 정의 등등을 최대한 고등학교 방식으로 표현하고자 한다. (제목만 봐도 굉장히 심플해보이는 추측인데, 사실 노린 것도 있긴하다. 사실 이거 보여주려고 어그로 끌었다...는 아님) + html에 수식넣는 연습할 겸...

abc 추측을 이야기 하기 위해서는 한 함수를 정의해야 한다.

Definition 1. 자연수 $n$ 에 대하여 이 자연수를 소인수분해를 한 결과가 $https://latex.codecogs.com/svg.image?n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_m^{a_m}$ (단, $p_k$ 는 서로 다른 소수, $a_k$ 는 자연수)일 때, 함수 $f$ 를 다음과 같이 정의한다.

$f(n)=p_1p_2\cdots p_m$

예를 들어, $f(64)=f(2^{6})=2$ , $f(48)=f(2^{4}\times3)=2\times3=6$ 이다. 그냥 뭐 대충 그냥 모든 지수를 1로 바꾸는 함수인 것이다. 이 함수는 다음 성질을 만족시킨다.

Theorem 1. 임의의 자연수 $n$ , $a$ 에 대하여 $f(a^{n})=f(a)$ 이다.

Theorem 2. 임의의 서로소인 두 자연수 $a, b$ 에 대하여 $f(ab)=f(a)f(b)$ 이다.

Theorem 3. 임의의 자연수 $a$ 에 대하여 $f(a)\leq a$ 이다.

이제 abc 추측을 소개한다.

Conjecture. $a+b=c$ 이고 서로소인 임의의 세 자연수 $a,b,c$ 에 대하여 다음 부등식이 항상 성립한다.

$c<(f(abc))^2$

abc 추측이 여러가지 버전이 있지만, 가장 이해하기 쉬운 버전만 선보여봤다. 추측을 보면 대충 왜 'abc 추측'이라 불리는지 알 수 있을 것이다. 이때, $a,b,c$ 는 서로소이므로 서로 다른 소인수를 갖는다. 따라서 $f(abc)=f(a)f(b)f(c)$ 이다.

아니, 그래서 이게 뭐 그렇다 쳐도 대체 이걸 왜 소개해주느냐? 그래서 이 추측이 만약 참이라면 무슨 일이 벌어지는데? ㅋㅋㄹㅃㅃ 그런데 놀랍게도 만약 이 추측이 참이라면 여러분들도 그 유명한 '페르마의 마지막 정리'를 단 몇 줄만에 증명할 수 있다. 무려 350년간 증명되지 않았다가 1994년에 증명된 그 '간단한 명제'를 말이다. 혹시나 '페르마의 마지막 정리'를 모르는 사람을 위해 소개하자면 다음과 같다.

Conjecture. (Fermat's Last Theorem, Proved by Andrew Wiles in 1994) 임의의 자연수 $n(n>2)$ 에 대하여 다음 등식을 성립시키는 세 자연수 $a,b,c$ 의 순서쌍 $(a,b,c)$ 이 존재하지 않는다.

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

이제 abc 추측이 참이라 가정하고 페르마의 마지막 정리를 증명하고자 한다. $n=3,4,5$ 일 때는 따로 증명되었다 가정하자. (증명은 직접 구글링하면 찾을 수 있다.)

Proof) $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ 인 서로소인 세 자연수 순서쌍 $(a,b,c)$ 이 존재하면 $a^{n}, b^{n}, c^{n}$ 도 서로소이고 $a<c, b<c$ 이므로 abc 추측에 의해

$c^n<(f(a^n b^n c^n ))^2 =(f(abc))^2\leq(abc)^2<(c^3)^2=c^6$

이다. 즉, $n<6$ 인데, $n=3,4,5$ 에서는 이미 순서쌍이 없음이 알려져있으므로 페르마의 마지막 정리는 참이다.

증명이 정말 쉽지 않은가? ㄹㅇㅋㅋ 이외에도 abc 추측(이 글에서 소개한 버전 외의 다른 버전 포함)이 참이면 다음 추측들이 모두 참이다. 증명은 생략한다. (너무 귀찮음...)

Conjecture. (Waring's Problem) 임의의 자연수 $k(k>1)$ 에 대하여 임의의 자연수를 $k$ 제곱수들의 합으로 표현하기 위한 최소의 개수는 다음과 같다. 여기서 대괄호 기호는 가우스 기호이다.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2^k +\left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^k \right ]-2$

이 추측은 이미

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2^k \left\{\left ( \frac{3}{2} \right )^k-\left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^k \right ] \right\}+\left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^k \right ]>2^k$

인 자연수 $k$ 를 제외하고 참이라는 것이 증명된 상태이다. 이 부등식을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수는 아무리 많아도 유한하며, 존재한다면 $k>471,600,000$ 이어야 한다는 사실까지만 알려진 것이 전부이다. 하지만 abc 추측은 이 부등식을 만족시키는 자연수 $k$ 가 존재하지 않음을 내포하는 것이다.

Conjecture. (Pillai's Conjecture) 임의의 자연수 $k$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 거듭제곱수들의 순서쌍 $(a^l ,b^m )$ 의 개수는 유한하다.

$a^l -b^m =k$

Conjecture. (Fermat-Catalan Conjecture) 다음 조건을 만족시키는 거듭제곱수들의 순서쌍 $(a^l ,b^m ,c^n )$ 의 개수는 유한하다.

$a^l +b^m =c^n , \frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1$

현재까지 알려진 순서쌍의 개수는 10개뿐이다. 예를 들어, $(1,2^3 ,3^2 ), (2^5 ,7^2 ,3^4), (3^5 ,11^4 ,122^2)$ 가 있다.

Conjecture. (Beal's Conjecture) 다음 조건을 만족시키는 '서로소'인 거듭제곱수들의 순서쌍 $(a^l ,b^m ,c^n )$ (단, $l,m,n>2$ )의 개수는 유한하다.

$a^l +b^m =c^n$

Conjecture. (Dressler's Conjecture) $f(m)=f(n),0<m<n$ 인 임의의 두 자연수 $m,n$ 에 대하여 $m\leq p\leq n$ 인 소수 $p$ 가 항상 존재한다.

이 추측은 베르트랑 공준(Bertrand Postulate)의 일반화이다. 베르트랑 공준은 '임의의 자연수 $n(n>2)$ 에 대하여 $n<p<2p$ 인 소수 $p$ 가 항상 존재한다.'이다.

abc 추측은 2012년에 모치즈키 신이치가 내부 국소 타이히뮐러 이론이라는 것을 통해 증명했다고 주장했으나, 이 이론에 대한 오류가 있고 약간의 수정으로도 커버가 되지 않는다는 피터 숄츠(2018 필즈상 수상자)의 의견이 있고, 모치즈키는 피터 숄츠가 이 이론에 대해 잘못 이해하고 있는 부분이 있다며 아직까지 증명이 받아들여지지 않고 있는 상황이다.