한완수 미적 상 p278

[자유]학습 Q&A

한완수 미적 상 p278

ln안에 절댓값이 있어도 그냥 미분할 수 있는 이유가 뭔가요? 뒤의 적분파트에서 1/x를 적분했을때 ln절댓값x인 것과 연관되어있지 않을까 싶은데, 명확하게 와닿지가 않아서요. 혹시 한완수 안에 이에 대해 서술된 페이지가 있을까요?

+) 본식에서 분모를 변형하여 완제꼴로 만들어서 분자만 부호판별하면 되도록 하는 형태는 언제나 가능한건가요? 아니면 해당 함수에서는 분모가 0이 되는 지점이 정의역에 포함되지 않기때문에 특이적으로 변형이 가능한건가요?

2023.02.28 21:00

답글

안녕하세요? 이해원 수학연구소 조교 도현입니다.

말씀하신대로 1/x의 부정적분이 ln|x|+C라는 사실과 치환적분법을 활용하면

f'(x)/f(x)의 부정적분이 ln|f(x)|+C임을 알 수 있습니다. 즉,

(ln|f(x)|)'=f'(x)/f(x)

입니다. 그래서 ln| x^2-2x |와 같이 절댓값이 있더라도 마치 없는 것처럼 바로 미분해도 되는 것입니다.

한완수 344p의 [교과서 개념]-'함수 x^n(n은 실수)의 부정적분'과 346p의 [교과서 개념]-'치환적분법'을 활용한 결과라고 생각하시면 됩니다.

그리고, 본문의 식 변형은 도함수가 분수꼴이 나왔을 때 분모의 식을 분모와 분자에 곱해주어 분모를 항상 양수로 만들어서, 도함수의 부호변화를 쉽게 파악할 수 있게 하는 것이 핵심입니다.

따라서 당연히 언제나 변형이 가능하며,

(어떤 형태든지 분모의 식만 위아래에 곱하시면 됩니다. 결과가 완전제곱식 꼴일 필요는 없습니다.)

분모가 0이 되는 지점이 정의역에 포함되지 않는 것과 변형이 가능한 것은 연관이 있다고 보기 힘듭니다.

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