안녕하세요? 이해원 수학연구소 도현입니다.




증명하고 싶으신게 [교과서 개념]-'도함수와 함수의 증가와 감소'의 2번 내용이 맞나요?

그리고 꿈dream3님이 말씀하신 '위와 마찬가지로'의 '위'가 [교과서 개념]-'도함수와 함수의 증가와 감소'의 1번의 증명이 맞나요?




위 질문에 대한 답이 모두 '예'라고 생각하고 답변 드리겠습니다.

써주신 논리는 [교과서 개념]-'도함수와 함수의 증가와 감소'의 2번의 증명이 되지 못합니다.

2번을 증명하기 위해서는

'구간 (a,b)에서 f'(x)<0'

이라는 가정에서

'f(x)가 구간 (a,b)에서 감소한다'

라는 결론이 나와야 하는데, 써주신 논리는 가정과 결론을 뒤집은, 거꾸로의 과정을 서술하고 있기 때문입니다. 따라서 올바른 증명은 다음과 같습니다:

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구간 (a,b)에서 f'(x)<0이라 가정하자. ... ㉠

이제 구간 (a,b)에 속하는 임의의 두 실수 x, y에 대하여

"x<y이면 f(x)>f(y)"

임을 증명하자. (즉, f(x)가 구간 (a,b)에서 감소함을 증명하자.)

x<y이면 평균값 정리에 의하여

f(y)-f(x)/y-x = f'(c)

인 c가 열린구간 (x,y)에 적어도 하나 존재한다. 이때 처음에 가정한 ㉠에 의하여 f'(c)<0이므로

f(y)-f(x)/y-x < 0 → f(y)-f(x) < 0 → f(y) < f(x)

임을 알 수 있다. 따라서 함수 f(x)는 구간 (a,b)에서 감소한다.
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이를 바탕으로 [교과서 개념]-'도함수와 함수의 증가와 감소'의 1번의 증명도 다시 한번 해보시기 바랍니다.




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