안녕하세요? 이해원 수학연구소 도현입니다.





먼저, [교과서적 해법]의 첫 문단에서 소개한 "n=4, n=5, ...를 대입해서 규칙성을 찾아 푸는 풀이"를 반드시 직접 해보시기 바랍니다. 이 풀이가 해당 문제의 가장 자연스러운 풀이입니다. (잘 모르겠다면, 답글 남겨주세요.)

그러나 규칙성을 찾는 풀이만을 해보면 이 문제에서 얻어갈 수 있는 것이 적기에 한완수에서는 이를 더 자세히 분석하여, 문제의 핵심을 깨달을 수 있는 풀이를 제시한것입니다. (아마 이 부분을 발상적이라 느끼신 것 같습니다.)

[교과서적 해법]에 대부분의 설명이 되어 있으므로, 보충설명만을 해드리겠습니다. 아래의 보충설명과 함께 해설지를 다시한번 잘 읽어보세요.

다음 사실이 이 문제의 핵심입니다.

"a와 n이 커질수록 직선 AP의 기울기가 작아진다." ... Ⓐ

이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

"a를 고정시켰을 때, n이 커지다 보면 언제가는 그 기울기가 반드시 1/2보다 작아진다"

문제의 f(n)의 값은 조건을 만족시키는 "최소의 자연수 a의 값"이므로,

각각의 n=4, 5, 6, 7, ...에 대하여 최소의 자연수 a의 값을 찾아도 좋겠으나,

각각의 a=3, 4, 5, 6, ...에 대하여 n의 범위를 찾아도 된다는 생각을 할 수 있습니다. (a는 3 이상의 자연수이므로)

이때, 이 문제의 핵심인 Ⓐ에 의하여 다음과 같은 포함관계가 성립합니다.

(a=3인 경우 n의 범위) ⊂ (a=4인 경우 n의 범위) ⊂ (a=5인 경우 n의 범위) ⊂ (a=6인 경우 n의 범위) ⊂ ...

a=3이면 n≥9이고, a=4이면 n≥4인데, 구하고자 하는 것은 n=4부터 n=30까지의 f(n)의 값의 합이므로 a=5, a=6, ...인 경우는 해볼 필요가 없습니다. 어차피 n≥4를 포함할 것이기 때문입니다.

다시 말해, n≥9이면 a=3, 4, 5, 6, ...이 가능하고, 4≤n≤8이면 a=4, 5, 6, 7, ...이 가능합니다.

따라서 4≤n≤8일 때, f(n)=4, n≥9일 때, f(n)=3인 것입니다.





*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 답글로 남겨주세요.