안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

1.
y=f(f(x))의 그래프는 필요한 내용을 담아서 잘 그려진 것으로 보입니다.

2.
우선 고정점에 대한 내용은 일반적으로는 '그래프의 디테일을 살리자'라는 취지로 이해할 수 있겠습니다.
일차함수의 그래프를 그릴 때는 절편을, 원을 그릴 때는 중심을 신경써서 그리듯이, 합성함수에서는 고정점이 특별한 역할을 하는 경우가 있으므로 '이러한 점이 있으면 표시해주면 좋다'정도로 받아들이면 됩니다.

다음으로 '이 문항에서' 고정점의 의미입니다.
올려주신 그래프로 보아 x=0에서 기울기가 1보다 작고, x=1에서의 기울기가 1보다 크므로
연속함수인 g'(x)에 사잇값 정리를 적용하여 ㄷ이 참임을 보이신 듯합니다.

고정점에 익숙한 사람은 이것을 다음과 같이 풀 수 있습니다.

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고정점의 x좌표를 a(a<1)라 하면, f의 볼록성으로부터 f'(a)<1이다.
→ g'(a) = f'(f(a))*f'(a) = f'(a)*f'(a) = {f'(a)}^2 < 1

같은 방법으로 또다른 고정점 x=1에 대해서 g'(1) > 1임을 보일 수 있다.
마찬가지로 사잇값 정리를 이용하면 ㄷ이 참이다.
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두 풀이의 차이는 g'(x)<1인 점을 어디서 찾는지 뿐입니다. 이에 따라

x=0을 이용할 경우: 두 번의 미분계수 확인이 필요해진다는 것(f'(0)과 f'(f(0))),
x=a를 이용할 경우: x=a에서의 미분계수가 1보다 작은 것이 그래프에 명확하게 나타나 있다는 것

정도의 미세한 차이가 발생합니다만, 풀이에 큰 영향을 주는 것은 아닙니다.
'고정점이 특별한 성질을 나타내긴 하는구나'라는 것을 확인할 수 있는 예시라고 생각해주시면 될 듯합니다.


3.
합성함수의 볼록성을 공부하기 위해 본 문항이 해당 페이지에 배치되어 있긴 합니다만,
이 문항에서 고정점을 이용하는 가장 효율적인 풀이는 다음과 같습니다.

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[g'(x)=1인 x가 열린구간 ~에 존재한다]라는 보기를 보고 평균값의 정리를 떠올린다.
(a, a), (1, 1)가 고정점이므로, y=g(x)가 x=a, x=1에서 y=x와 만난다.
구간 (a, 1)에서 평균값 정리를 이용한다. -> (참)
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