안녕하세요? 이해원 수학연구소 도현입니다.




본문처럼 x=a에서 미분가능하고 f(a)=g(a)=0인 두 함수 f(x), g(x)에 대하여

|f(x)|의 x=a에서의 좌,우미분계수를 -α, α
|g(x)|의 x=a에서의 좌,우미분계수를 -β, β

라 하겠습니다. 그러면 본문과 같은 과정을 거쳐

|f(x)|+|g(x)|의 x=a에서의 좌,우미분계수는 각각 -α-β, α+β

입니다. 이때, |f(x)|+|g(x)|의 x=a에서의 좌, 우미분계수 중 적어도 하나가 0이 된다고 하였으므로

-α-β=0 또는 α+β=0 → α+β=0

인데, 두 함수 y=|f(x)|, y=|g(x)|의 그래프를 생각해보면 우미분계수인 α와 β는 항상 0 이상이므로

α+β=0 → α=0, β=0

임을 알 수 있습니다.

즉, 두 함수 |f(x)|, |g(x)|가 각각 x=a에서 미분가능하며 미분계수는 0입니다.



참고로, kkk1234님이 올려주신 사진의 주석1) 위쪽에 메모하신 |g(x)|의 x=a에서의 좌미분계수가 양수이고 우미분계수가 음수인 경우는 존재하지 않고, 그래서 반례가 되지 못합니다. 위에서도 설명했듯, 절댓값함수의 그래프의 개형을 생각해보면 x=a에서의 좌미분계수는 항상 0 이하이고, x=a에서의 우미분계수는 항상 0 이상이어야 합니다.




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