"다른 교점이 더 있다고 가정하면" 평균값 정리에 의하여 모순임을 즉시 확인할 수 있다는 것이 무슨 의미인가요? 많이 생각해봤는데 다른 교점이 어디에 있다고 가정해야할 지, 평균값 정리를 어떻게 적용시킬 수 있는건지 잘 모르겠습니다.
2023.02.21 16:01
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.
이 경우에는 교점의 위치는 크게 중요치 않습니다. 다른 교점이 더 있다는 가정을 한 뒤, 평균값의 정리를 이용하기 위해 평균변화율에 주목하여 증명을 시작하면 되겠습니다.
아래로 볼록인 함수 f(x)와 기울기가 m인 직선이 서로 다른 세 점에서 만난다고 가정하고, 세 교점의 x좌표를 각각 α, β, γ라 하겠습니다.
그러면 세 점이 모두 직선 위에 있으므로, α와 β 사이, β와 γ 사이에서의 f(x)의 평균변화율이 모두 m입니다. 따라서 평균값의 정리에 의해 α와 β 사이, β와 γ 사이에 각각 미분계수가 m이 되는 두 점이 존재하게 되는데요, 이것은 도함수가 증가한다는 사실에 모순입니다.
따라서 아래로 볼록인 곡선과 직선은 교점을 세 개 이상 가질 수 없다는 것을 알 수 있습니다.
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이 경우에는 교점의 위치는 크게 중요치 않습니다. 다른 교점이 더 있다는 가정을 한 뒤, 평균값의 정리를 이용하기 위해 평균변화율에 주목하여 증명을 시작하면 되겠습니다.
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그러면 세 점이 모두 직선 위에 있으므로, α와 β 사이, β와 γ 사이에서의 f(x)의 평균변화율이 모두 m입니다. 따라서 평균값의 정리에 의해 α와 β 사이, β와 γ 사이에 각각 미분계수가 m이 되는 두 점이 존재하게 되는데요, 이것은 도함수가 증가한다는 사실에 모순입니다.
따라서 아래로 볼록인 곡선과 직선은 교점을 세 개 이상 가질 수 없다는 것을 알 수 있습니다.
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