한완수 수학 중 168페이지 추가 질문입니다

[자유]학습 Q&A

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여기서 미분하는 부분을 보면 구간별로 나누어져 있는데 등호가 들어가지 않은 이유가 궁금합니다. f(t)-f(1)/t-1 부분에서 t가 1보다 작은 쪾에서 오는 것이랑 큰 쪽에서 오는 것떄문에 등호를 넣지 않는것인가요? 즉 ,평균변화율의 극한을 구해야 하기 때문에 1에 점점 근접하지만 1은 아니라고 생각하기에 등호가 들어가지 않은 거라고 보면 되나요?

2023.02.17 15:59

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

구간별 함수의 도함수를 나타낼 때 함수가 바뀌는 구간이 포함되지 않는 이유는, 그 점에서의 미분가능성이 일반적으로 보장되지 않기 때문입니다. 주어진 문제에서

결과적으로 "{f(t)-f(1)}/(t-1)의 극한을 계산할 때, t<1, t>1인 경우가 달라서"는 맞습니다만, "1에 근접하지만 1은 아니기 때문"은 아닙니다.

예를 들어 t=1.5를 생각하면, {f(t)-f(1.5)}/(t-1.5)의 극한을 구할 때에도 t가 1.5에 가까워지지만 1.5는 아닙니다. 그러나 t=1.5에서 f(t)를 미분가능하기 때문에 그대로 도함수를 구할 수 있는 것입니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 답글로 남겨주세요.

2023.02.17 19:33

답글

여기서 1에 근접하지만 1은 아니기 때문"은 아닙니다. 부분이 이해가 가지 않았습니다. t가 1.5일 떄에도 보면 t가 1.5에 근접하나 1.5는 아니지만 도함수는 구할 수 있으니까 앞에 언급한 논리가 아니라고 하신건가요?

2023.02.21 16:19

답글

꿈dream3

맞습니다. 이 경우에 [미분가능성]과 [x->a의 극한은 x≠a임을 전제로 한다]는 개념은 크게 관련이 없습니다.