한완수 확통 159p F-32번

[자유]학습 Q&A

한완수 확통 159p F-32번

첨부파일: 16756621850181929111796907889797.jpg

확률 관련 개념 부분에서 뒤에 나올 확률이 같으면 1× (고정)하는 것과 이 문제에서 적용되는 부분이 헷갈립니다

처음에는 직관적으로 경우의수로 해결하였는데

다시 확률로 풀어보려고 하니 f(a), f(b) 각각의 부호가 다른 경우에 대해서 확률이 같으니 1×(1/3×1/3)이라고 생각했습니다ㅜㅜ

근데 해설지에서는 2x로 되어 있어서요..

그니까 부호가 다른 각각의 경우에 대해서 경우 1 또는 경우 2이고, 두 경우가 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의해서 (1/3×1/3) +(1/3×1/3) =2/9 로 일단 납득하기는 했는데..

뒤의 확률이 같아서 1x 하는 경우랑 지금 문제가 정확히 어떤 차이가 있어서 다른건지 모르겠습니다

2023.02.06 15:24

답글

안녕하세요 확통어려워님, 이해원 수학연구소 조교 도현입니다.

질문하신 문제에서 '1×'로 고정하는 것이 적용되지 않는 이유는, 문제에서 묻는 상황이 뭔가를 고정할 수 있는 상황이 아니기 때문입니다.

본문 134p에서 소개하는 다음 문제를 다시 풀어 봅시다.

EX02. 한 개의 동전을 두 번 던질 때, 서로 같은 면이 나올 확률을 구하시오.

'고정'을 이해하기 위하여 '고정'을 사용하지 말고 문제를 풀어 봅시다. 풀이는 다음과 같습니다.

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풀이. 구하고자 하는 확률은

(처음 동전이 앞면일 확률×두번째 동전이 앞면일 확률)+(처음 동전이 뒷면일 확률×두번째 동전이 뒷면일 확률)
= (1/2×1/2)+ (1/2×1/2)
= 1/2

이다.
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위의 풀이에서 '1×'로 고정하는 원리를 파악할 수 있습니다. 처음 던진 동전이 앞면이든 뒷면이든 뒤에 나올 확률은 같기 때문에

(처음 동전이 앞면일 확률×두번째 동전이 앞면일 확률)+(처음 동전이 뒷면일 확률×두번째 동전이 뒷면일 확률)
= (처음 동전이 앞면일 확률+처음 동전이 뒷면일 확률)×(처음 동전을 앞면이라 고정했을 때의 확률)
= 1×(처음 동전을 앞면이라 고정했을 때의 확률)

과 계산할 수 있고, 이를 한완수에서는 '1×'로 고정하는 것이라 하기로 약속한 것입니다.

이제 원래 질문하신 문제인 F32를 다시 보면, 물론 'f(a)>0, f(b)<0일 확률'과 'f(a)<0, f(b)>0일 확률'이 서로 같은 것은 맞지만, 문제를 풀 때 위 문제처럼 둘 중 하나로 고정하는 식의 논리가 없기 때문에 '1×'로 고정하는 것이 적용되지 않는 것입니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 답글로 남겨주세요.

2023.02.06 16:49

답글

도현

밑에 남겼습니다!

2023.02.06 16:47

답글

예를 들어 주사위를 던져 3의 배수가 나오면 f(a)<0, f(b)>0 3의 배수가 아닌 수가 나오면 f(a)>0, f(b)<0
이라고 할때 1/3 x 1/3 + 2/3 ×1/3 =3/9, 뒤에 나올 확률이 1/3으로 같으므로 (3의 배수가 나올 확률 + 나오지 않을 확률) × (3의 배수가 나오는 경우로 고정한 확률) =(1/3+2/3) × (3의 배수가 나오는 경우로 고정한 확률)= 1×(1/3)=1/3
이 논리와 같은건가요?
'f(a)<0, f(b)>0과 그 반대 경우의 두 확률이 같다'는 것과,' 이 경우 각각에 대해서 뒤에 나올 확률이 같다'는 다르므로,, 후자 일때는 f(a)<0, f(b)>0으로 고정할 수 있는 여지가 생기는거구요?
정확히 이해되지는 않았는데,,, 뒤의 확률이 같다..라는 조건에 1×을 활용하려면 그 같은 확률 전에 어떤 사건(?)이 있어야 된다고 생각하면 되나요..?

2023.02.06 17:08

답글

확통어려워

예를 들어 주사위를 던져 3의 배수가 나오면 f(a)<0, f(b)>0 3의 배수가 아닌 수가 나오면 f(a)>0, f(b)<0
이라고 할때 1/3 x 1/3 + 2/3 ×1/3 =3/9, 뒤에 나올 확률이 1/3으로 같으므로 (3의 배수가 나올 확률 + 나오지 않을 확률) × (3의 배수가 나오는 경우로 고정한 확률) =(1/3+2/3) × (3의 배수가 나오는 경우로 고정한 확률)= 1×(1/3)=1/3
이 논리와 같은건가요?

-> '주사위를 던져 3의 배수가 나오면 f(a)<0, f(b)>0 3의 배수가 아닌 수가 나오면 f(a)>0, f(b)<0'가 어떤 조건인가요? a와 b가 주사위를 던졌을 때의 눈인데, 주사위를 또 던지는 것인가요?

1×을 활용하려면 그 같은 확률 전에 어떤 사건(?)이 있어야 된다고 생각하면 되나요..?

-> 네, 이 문제의 경우 고정할 것 자체가 없기에 윗 댓글에서 소개한 134p의 EX02처럼 '1×'를 활용하는 풀이로 바꿀 수 없는 것입니다.

2023.02.06 23:27

답글

도현

어.. 제가 수학적 역량이 부족해서 조건이 어떤 상황인지는 배제하고.. 그냥 저 말만 보았을 때 제가 이해한게 맞는지 확인하려고 한것입니다..

2023.02.07 11:57

답글

확통어려워

맥락을 보니까 주사위를 던졌을 때 3의 배수가 나오든 3의 배수가 나오지 않든 ‘뒤에 나올 확률’이 같은 상황을 말씀하시는 것 같은데, 그렇다면 말씀하신 내용이 맞습니다.