안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

|y|=f(x)의 그래프를 그리는 과정은 첨부한 이미지 파일을 확인해주세요.

두 번째 질문은 |y|=f(x)와 y=|f(x)|의 차이를 모르겠다는 의미로 이해하고 답변을 작성하겠습니다.

우선 y와 f(x)를 '같은 y값'이라고 표현하신 부분에서 잘못된 개념이 보입니다.
통상적으로 쓰이는 'y=f(x)'라는 표현에 의해 생긴 오개념이 아닐까 생각됩니다.
y와 f(x)는 각각의 독립된 식으로 인식해야 합니다.
일반적으로 y=f(x)는 성립하지 않습니다. f(x)=x를 생각하시고, 좌표평면의 점 (x, y)=(1, 2)를 생각해보시기 바랍니다. y와 f(x)는 같지 않습니다.
먼저 y와 f(x)가 같은 것이 아니라는 것을 확실히 인식해주세요.

이제 함수의 그래프에 대해 제대로 이해하면 궁금하신 부분이 해결될 듯 합니다.
'직선의 방정식', '원의 방정식'과 같은 표현에서 알 수 있듯이, 그래프를 그릴 때 y=f(x)라는 식은 '방정식'입니다.
이 '방정식의 해'를 좌표평면에 표시한 것이 바로 'y=f(x)의 그래프'입니다.
즉, 좌표평면에 수많은 점 (x, y) 중에서 'y=f(x)를 만족시키는 점'만을 표시한 것이 y=f(x)의 그래프인 것입니다.

이런 관점에서 보면, 두 방정식 y=|f(x)|와 |y|=f(x)의 해가 다르기 때문에 그래프도 다르게 그려져야 한다는 것을 이해하실 수 있을 것입니다.
위의 내용이 다소 추상적이어서 이해가 어렵다면, 간단한 함수 f(x)=x등을 직접 대입하여 그래프를 그려보시면 이해에 도움이 될 수 있습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 답글로 남겨주세요.