표시 해놓은 부분에 y축 대칭이므로 f(-x)=f(x) 인 것은 알겠습니다만 뒤에 f(x)= x^4 +ax^2+b 가 어떻게 나오는지 증명과정을 모르겠어요.
2023.01.23 14:18
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답글
안녕하세요 이해원연구소 yz입니다.
f(x)=x^4 + ax^2 +b, 즉 f(x)가 짝수차항만으로 이루어진 다항함수라는 결과는 f(x)=f(-x)가 항등식임을 이용하여 얻을 수 있습니다.
f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx +d 라고 두고 x에 -x를 대입하면
f(-x) = x^4 - ax^3 + bx^2 - cx +d 이므로 f(x) = f(-x)로부터
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx +d = x^4 - ax^3 + bx^2 - cx +d
을 얻습니다. 정리하면
ax^3 + cx = 0
이고, 이 식이 항등식이므로 a = c = 0을 얻습니다. 즉, f(x)의 홀수차항의 계수가 모두 0이므로 짝수차항만으로 이루어진 다항식임을 알 수 있습니다. 이 방법은 사차함수가 아닌 일반적인 다항식에도 똑같이 적용할 수 있습니다.
추가로 다항함수 f(x)의 그래프가 원점 대칭인 경우도 같은 방법으로 f(x)에는 홀수차항만있음을 보일 수 있습니다.
이 내용은 같은 책의 315p에서 [수능 개념]으로 정리되어 있으니 참고하시면 좋을 것 같습니다.
f(x)=x^4 + ax^2 +b, 즉 f(x)가 짝수차항만으로 이루어진 다항함수라는 결과는 f(x)=f(-x)가 항등식임을 이용하여 얻을 수 있습니다.
f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx +d 라고 두고 x에 -x를 대입하면
f(-x) = x^4 - ax^3 + bx^2 - cx +d 이므로 f(x) = f(-x)로부터
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx +d = x^4 - ax^3 + bx^2 - cx +d
을 얻습니다. 정리하면
ax^3 + cx = 0
이고, 이 식이 항등식이므로 a = c = 0을 얻습니다. 즉, f(x)의 홀수차항의 계수가 모두 0이므로 짝수차항만으로 이루어진 다항식임을 알 수 있습니다. 이 방법은 사차함수가 아닌 일반적인 다항식에도 똑같이 적용할 수 있습니다.
추가로 다항함수 f(x)의 그래프가 원점 대칭인 경우도 같은 방법으로 f(x)에는 홀수차항만있음을 보일 수 있습니다.
이 내용은 같은 책의 315p에서 [수능 개념]으로 정리되어 있으니 참고하시면 좋을 것 같습니다.
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