안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

대부분의 경우에 ‘왜 이렇게 정의하는가’라는 물음에 대한 답은 ‘그렇게 정의해야 자연스러운 or 유용한 성질이 나타나기 때문’으로 요약될 수 있습니다.

가장 큰 이유 중 하나로는, 예각에 대한 삼각함수에서 성립하던 성질 [sin ²+cos ²=1, tan=sin/cos]을 예각이 아닐 때도 똑같이 성립하게 하기 위함이라 할 수 있습니다. 자연수의 지수법칙을 유리수, 실수 지수에 적용할 수 있도록 확장했던 것을 생각하면 좋습니다.

——이 단계에서 질문의 답변이 되었을지도 모르겠습니다만, 아래의 내용도 참고삼아 읽어보시면 좋을 것 같습니다.——

그러나 이 성질들을 만족시키도록 정의하는 방법은 한가지가 아닙니다. 예를들어, sin, cos, tan를 예각일 때와 마찬가지로 항상 양수가 되도록 정의해도 위의 성질은 만족시킬 수 있습니다.

즉, 지금과 같이 정의한 또 다른 이유가 있다는 것입니다.

따라서 정의 자체만 본 단계에서 ‘이렇게 정의한 이유’에 대해 완벽하게 설명을 드리는 것은 어렵고, 오히려 무의미하다고도 할 수 있습니다.

이후 삼각함수의 성질과 활용법을 배워나가시면서 그 유용성을 체감하는 과정이야말로 ‘이렇게 정의한 이유’를 알아가는 제대로 이해하는 것이라고 생각하시면 좋을 듯합니다. (특히 미적분 선택자시라면, 미적분에서의 삼각함수의 유용성을 체감하는 것이 가장 효과적일 것입니다.)

이는 비단 삼각함수뿐만 아니라 대부분의 새로운 정의에 대해 똑같이 적용할 수 있는 이야기입니다. 정의는 ‘우선 받아들이고, 나중에 이해‘하는 경우가 많다는 것을 알아두시면 앞으로의 수학 공부에 도움이 되시지 않을까 싶습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.