안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

a≠5인 경우에 함수 f(x)가 (-∞, -1]에서 연속인 것이 맞습니다.

의문을 가지신 이유가

구간 (-∞, -1]의 오른쪽 끝점인 x=-1에서의 연속성이 보장되지 않는다는 점

때문이라고 파악되어 이에 대해 설명을 드리도록 하겠습니다. (혹시 다른 이유였다면 추가로 질문 남겨주시면 답변드리도록 하겠습니다.)
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'함수의 연속'은 크게 두 가지로 다음과 같이 나누어 정의합니다.

- '한 점 x=a에서'의 연속
- '구간에서'의 연속
(68p, 70p의 [교과서 개념]-'함수의 연속', '연속함수의 정의'를 비교하며 함께 보시면 좋을 듯합니다.)

이때 한 점에서의 연속은 잘 알고 계시듯이 (좌극한) = (함숫값) = (우극한)인 상황을 나타냅니다.

한편 구간에서의 연속은 다음과 같이 비교적 복잡하게 약속되어 있습니다.

1. 구간에 포함되며 양끝이 아닌 모든 점에서 연속
2. 주어진 구간이 닫힌구간이라면,
구간의 왼쪽 끝에서는 (함숫값)=(우극한)
구간의 오른쪽 끝에서는 (함숫값)=(좌극한)

즉, 구간의 끝점에 한해서, (설령 그 점에서는 불연속이더라도) 해당 구간 안에서의 (좌극한 또는 우극한)과 (함숫값)만 같다면 '구간에서 연속'이라고 약속한 것입니다.

이렇게 '두 가지 연속'의 약속을 명확히 인지하고 확인해 보면,

f(x)는 a의 값에 관계없이 x=-1에서 (좌극한)=(함숫값)을 만족

시키므로, f(x)가 구간 (-∞, -1]에서 연속이라고 할 수 있습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.