안녕하세요. 이해원 수학연구소 큰입배스입니다.

우선 질문해신 부분에서는 발문의 "함수 f(x)가 x=1에서 미분가능할 때" 라는 발문이
x=1 에서 함수가 연속이고, 도함수가 연속이라는 것을 내포하고 있기 때문에 가정하고 가는 것이 아니라 확실한 정보를 기반으로 풀이를 진행한다고 볼 수 있습니다.
또한, pg 154의 각주 3)의 내용을 수능 개념과 연계하여 설명 드리자면,
우선 문제의 f(x)가 x=1 에서 미분가능하다는 말은 (함수의 연속 + 도함수의 연속 두가지 의미)
"x=1에서 연속이고, 미분계수의 정의 식 ( f(x)-f(1) / x-1 )에 x -> 1- , x -> 1+ 를 취한 값이 같다" 를 의미합니다. (교과서적 해법)
하지만, 주어진 ax 와 bx²+1 다항함수로서 미분이 가능하다는 것을 이미 알고 있고,
그렇기 때문에 미분계수의 식을 작성하여 좌극한, 우극한을 구하는 것이나, 그저 미분해서 x=1을 대입하는 것이나 같은 값이라는 것을 알고 있습니다.
따라서, 각주 3)은 미분가능한 함수들 끼리 구간별로 나뉘어 미분가능하다면, 그저 구간의 경계에서 양쪽을 미분하여 x=1을 대입해도 같은 값이 나온다는 것을 설명하는 것입니다.

다시 정리해드리자면, pg 154의 수능 개념이 설명하고자 하는 바는 두 가지 입니다.
1) 구간별 함수가 미분 가능하려면, x=a 에서 연속이고 x=a에서의 좌미분계수와 x=a에서의 우미분계수가 같다.
2) x<a 에서의 f(x)와 x≥a 에서의 g(x) 둘 다 미분 가능한 함수(다항함수는 미분가능)로 제시되었기 때문에 f'(a-)=f'(a), g'(a+)=g'(a) 를 이용해 바로 각각의 미분계수에 x=a를 대입하자. (굳이 미분계수의 정의 식을 쓰지말자)
입니다.

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