해설지에서 확대 축소 논리를 이용했을 때 x=ㅠ/2 근방에서 교점이 오직 하나만 존재하는지를 해보고 싶어서 증명해보려 하는데 도저히 확대 축소 논리를 어떻게 이용해야될지 몰라서 일단 ㅠ/2 근방에서 |cos2t|=-cos2t, |sint|=sint라는 점을 이용해서 삼각함수 덧셈정리로 -cos2t=sint 방정식을 풀어서 확인 했는데 확대축소의 논리가 어떻게 사용되서 확인 되는지 궁금해요
2024.10.28 20:03
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.
(아래에 첨부한 그림 파일과 함께 읽어주세요.)
곡선 y=|cos2x|의 π/4≤x≤3π/4인 부분(빨간색)을 Ⓐ,
곡선 y=|sinx|의 0≤x≤π인 부분(파란색)을 Ⓑ라 하겠습니다.
sinx, cosx의 그래프는 서로 평행이동 관계에 있으므로, 서로 합동이라고 할 수 있습니다.
따라서 cosx를 1/2배 축소한 그래프에서 떼어낸 Ⓐ는, Ⓑ를 직선 x=π/2를 기준으로 1/2배 축소한 것과 같습니다.
따라서 그림과 같이 관찰해 보면 직선 x=π/2 위의 점 A, 곡선 Ⓑ 위의 점 B에 대하여 AB의 중점 M이 항상 곡선 Ⓐ 위에 있다는 것을 알 수 있습니다.
이때 만약 두 곡선 Ⓐ, Ⓑ의 교점(B₁)이 존재한다고 하면, 그에 대응되는 M₁이 곡선 Ⓐ 위에 또 나타나게 됩니다. 즉, y=|cos2x|가 π/2≤x≤π에서 y좌표가 같은 서로 다른 두 점(B₁, M₁)을 지난다는 것입니다. 그러나 이는 y=|cos2x|가 π/2≤x≤π에서 일대일함수임에 모순입니다. 따라서 Ⓐ, Ⓑ의 교점은 나타나지 않음을 알 수 있습니다. (귀류법)
직관적인 영역에서 확인 가능한 부분에 대해서는 자세한 설명은 생략했습니다만, 혹시 추가로 설명이 필요한 부분이 있을 경우 대댓글 또는 새로운 게시글로 물어봐주시면 답변 드리도록 하겠습니다.
(아래에 첨부한 그림 파일과 함께 읽어주세요.)
곡선 y=|cos2x|의 π/4≤x≤3π/4인 부분(빨간색)을 Ⓐ,
곡선 y=|sinx|의 0≤x≤π인 부분(파란색)을 Ⓑ라 하겠습니다.
sinx, cosx의 그래프는 서로 평행이동 관계에 있으므로, 서로 합동이라고 할 수 있습니다.
따라서 cosx를 1/2배 축소한 그래프에서 떼어낸 Ⓐ는, Ⓑ를 직선 x=π/2를 기준으로 1/2배 축소한 것과 같습니다.
따라서 그림과 같이 관찰해 보면 직선 x=π/2 위의 점 A, 곡선 Ⓑ 위의 점 B에 대하여 AB의 중점 M이 항상 곡선 Ⓐ 위에 있다는 것을 알 수 있습니다.
이때 만약 두 곡선 Ⓐ, Ⓑ의 교점(B₁)이 존재한다고 하면, 그에 대응되는 M₁이 곡선 Ⓐ 위에 또 나타나게 됩니다. 즉, y=|cos2x|가 π/2≤x≤π에서 y좌표가 같은 서로 다른 두 점(B₁, M₁)을 지난다는 것입니다. 그러나 이는 y=|cos2x|가 π/2≤x≤π에서 일대일함수임에 모순입니다. 따라서 Ⓐ, Ⓑ의 교점은 나타나지 않음을 알 수 있습니다. (귀류법)
직관적인 영역에서 확인 가능한 부분에 대해서는 자세한 설명은 생략했습니다만, 혹시 추가로 설명이 필요한 부분이 있을 경우 대댓글 또는 새로운 게시글로 물어봐주시면 답변 드리도록 하겠습니다.
2024.10.28 20:22
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답글
yz
그림 파일이 안 올라간 것 같은데 그림파일 다시 첨부해주실 수 있나요?
2024.10.29 12:15
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답글
16차원함수찢기
죄송합니다. 이 그림과 함께 봐주세요
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