안녕하세요. 이해원 수학연구소 Rapa입니다.

결과만 본다면 이 문항에서는 π/3와 5π/3 사이에서 x=π 주변값을 임의로 골라도 큰 상관이 없습니다. (질문자님께서 설정하신 π/2와 3π/2를 예시로 들 수 있습니다.) 그러나 이는 확실한 근거 없이 임의로 고른 값이 될 수 있으므로, 정보가 부족하다면 이러한 방식으로 판정 범위를 설정하기에는 대부분의 경우에는 무리가 있습니다.

추천드리는 방법은 x=π에서의 좌극한과 우극한을 비교하는 것입니다.
f'(x)의 x=π에서의 우극한을 살펴보면, x -> π+이므로 cosx -> -1+이고 f'(x) -> 0-입니다.
같은 방법으로 좌극한을 살펴보면, x -> π-이므로 cosx -> -1+이고 f'(x) -> 0-가 됩니다.
즉, x=π의 좌/우 극한을 통해 f'(x)는 x=π 근방에서 부호가 음수로 일정함을 알 수 있습니다.

이처럼 좌/우극한을 알아보는 방법은 어떤 그래프의 한 지점에서 주변 개형을 알아내기 위해 자주 사용되곤 합니다. 비슷한 활용 예시로 한완수 미적분(상) P.222의 ①을 보시면 함수의 x=0에서의 개형을 알아내기 위해 좌/우극한을 활용하는 것을 보실 수 있으니, 추가로 학습해보시면 좋을 것 같습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.