왜 x=0에서 삼중근을 가져야만 하나요?
그냥 교점이면 안되는걸까요??
2024.10.21 12:59
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답글
안녕하세요. 이해원 수학연구소 큰입배스입니다.
우선 x = 0 에서 연속이고 미분가능하지않다는 조건을 통해 x = 0 에서 함수가 f -> g 혹은 g -> f 여야 함을 알 수 있고, (바뀌지 않는다면 x=0 부근에서 계속 h(x)=f(x) 혹은, h(x)=g(x) -> 미분가능해짐)
이 조건은 f(x)와 g'(x)가 x = 0 에서 대소 관계가 바뀌며, f(0)=g(0) 으로 해석할 수 있습니다. 즉 f(0)=g(0)=g'(0)입니다.
f(x)와 g'(x)의 그래프를 비교할 때, g'(x)는 기울기가 -2인 직선이고 f'(0)= -2 라는 조건 때문에 우선 f(x)와 g'(x)는 x=0에서 접한다는 것을 알 수 있습니다.
그리고 미분가능하지 않다는 조건 때문에 아까 말했듯 x=0에서 f(x)와 g'(x)의 대소가 x=0 에서 바뀌어야 합니다.
그렇기에 사차함수와 직선이 x = 0 에서 접하면서 대소관계가 바뀌려면 삼중근 만이 가능합니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
우선 x = 0 에서 연속이고 미분가능하지않다는 조건을 통해 x = 0 에서 함수가 f -> g 혹은 g -> f 여야 함을 알 수 있고, (바뀌지 않는다면 x=0 부근에서 계속 h(x)=f(x) 혹은, h(x)=g(x) -> 미분가능해짐)
이 조건은 f(x)와 g'(x)가 x = 0 에서 대소 관계가 바뀌며, f(0)=g(0) 으로 해석할 수 있습니다. 즉 f(0)=g(0)=g'(0)입니다.
f(x)와 g'(x)의 그래프를 비교할 때, g'(x)는 기울기가 -2인 직선이고 f'(0)= -2 라는 조건 때문에 우선 f(x)와 g'(x)는 x=0에서 접한다는 것을 알 수 있습니다.
그리고 미분가능하지 않다는 조건 때문에 아까 말했듯 x=0에서 f(x)와 g'(x)의 대소가 x=0 에서 바뀌어야 합니다.
그렇기에 사차함수와 직선이 x = 0 에서 접하면서 대소관계가 바뀌려면 삼중근 만이 가능합니다.
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