기함수와 우함수의 적분에 기하수면 c -c정적분이 0이다 라는 명제의 역이 성립하는건가요? 성립하지 않는다면 반례가 궁금합니다 우함수도 마찬가지로 명제의 역이 성립하는지 궁금합니다
2024.10.21 12:36
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답글
안녕하세요. 이해원 수학연구소 큰입배스입니다.
우선 명제의 역은 "-c부터 c 까지의 ∫f(x)dx 이 0이면 f(x)는 기함수다." 인것 같습니다. 결론부터 말씀드리자면 성립하지 않고 반례가 존재합니다.
f(x) = x^2-3 이고 c=3이라면 정적분의 값이 0 이지만 f(x)는 우함수가 됩니다.
그리고 f(x)가 우함수, 기함수가 아니더라도 -c ~ c의 정적분 값이 0이 될 수 있습니다. 짝수차항들만 정적분하여 0이 된다면 그 함수는 -c ~ c의 정적분 값이 0이 되기 때문입니다.
말씀하신 명제는 역이 성립하지 않습니다.
명제 "우함수면 -c ~ c 정적분이 0이다." 는 명제 자체가 성립하지 않고 그 역도 성립하지 않습니다. 반례는 쉽게 찾으실 수 있을 것 같습니다.
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우선 명제의 역은 "-c부터 c 까지의 ∫f(x)dx 이 0이면 f(x)는 기함수다." 인것 같습니다. 결론부터 말씀드리자면 성립하지 않고 반례가 존재합니다.
f(x) = x^2-3 이고 c=3이라면 정적분의 값이 0 이지만 f(x)는 우함수가 됩니다.
그리고 f(x)가 우함수, 기함수가 아니더라도 -c ~ c의 정적분 값이 0이 될 수 있습니다. 짝수차항들만 정적분하여 0이 된다면 그 함수는 -c ~ c의 정적분 값이 0이 되기 때문입니다.
말씀하신 명제는 역이 성립하지 않습니다.
명제 "우함수면 -c ~ c 정적분이 0이다." 는 명제 자체가 성립하지 않고 그 역도 성립하지 않습니다. 반례는 쉽게 찾으실 수 있을 것 같습니다.
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