P222 해설을 보면
함수 f가 실수 전체의 집합에서 연속인 함수이므로 함수 g가 x=2 에서 최솟값을 가지므로 x=2에서 극솟값을 갖는다는 것과 같다고 나와 있는데
연속인 함수 조건만 있다면 최솟값이 극솟값과 같은 것일까요?
열린구간이라서 그런 것일까요?
2024.10.21 12:39
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답글
안녕하세요. 이해원 수학연구소 Rapa입니다.
열린 구간 (0, 4) 안에서 임의로 닫힌 구간 [1, 3]을 보면,
g(x)는 닫힌 구간 [1, 3]에서도 문제없이 잘 정의되어 있습니다.
열린 구간 (0, 4)에서 정의된 함수 g(x)가 x=2에서 최솟값 0을 가진다고 했으므로,
마찬가지로 닫힌 구간 [1, 3]에서 g(x)의 최솟값도 g(2)가 될 것이며, 닫힌구간에서 연속함수의 최솟값은 양 끝점, 또는 극솟값이므로 x=2에서 극솟값을 가지는 것을 확인하실 수 있습니다.
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열린 구간 (0, 4) 안에서 임의로 닫힌 구간 [1, 3]을 보면,
g(x)는 닫힌 구간 [1, 3]에서도 문제없이 잘 정의되어 있습니다.
열린 구간 (0, 4)에서 정의된 함수 g(x)가 x=2에서 최솟값 0을 가진다고 했으므로,
마찬가지로 닫힌 구간 [1, 3]에서 g(x)의 최솟값도 g(2)가 될 것이며, 닫힌구간에서 연속함수의 최솟값은 양 끝점, 또는 극솟값이므로 x=2에서 극솟값을 가지는 것을 확인하실 수 있습니다.
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