에서 예저1번 수능적 해법에서 삼차함수의 개형이 극값을 가지지 않을수도 있는데 왜 극값을 가지는 그래프로 바로 정하고 문제를 풀었는지 궁금하고 극값을 같지 않는 그래프는 어떻게 되는지 답이 되는지 궁금합니다
2024.10.17 14:54
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답글
안녕하세요. 이해원 수학연구소 Rapa입니다.
p.262 Example 01에서 수능적 해법의 [그림 1]과 [그림 2]는 각각 방정식 f(x)=2x+2가 x=1에서 중근인 경우와 x=0에서 중근인 경우를 나타낸 것이며, [그림 1]과 [그림 2]의 f(x)의 개형이 동일하기에 잘못 생각하실 수도 있지만 이는 f(x)의 개형이 극값을 갖는다는 가정이 들어간 것이 아닙니다. (보편적인 삼차함수의 개형을 따라 대략적으로 그려진 것이며 극값 여부는 고려하지 않았습니다. 만약 극값을 갖는다는 가정이 들어갔다면 f'(x)의 판별식이 양수라는 조건이 추가적으로 제시되었을 것입니다.)
질문해주신 것과 같이 극값을 고려하여 경우의 수를 더욱 세밀하게 나누어 보겠습니다.
첨부하신 사진의 [그림 1], [그림 2]를 각각 f(x)가 극값을 갖는 경우 가질 수 있는 개형으로 보고,
여기에 f(x)가 극값을 갖지 않는 경우 가질 수 있는 개형을 나타내는 [그림 a], [그림 b]를 추가하겠습니다.
p.262 Example 01에서 수능적 해법의 [그림 1]과 [그림 2]는 각각 방정식 f(x)=2x+2가 x=1에서 중근인 경우와 x=0에서 중근인 경우를 나타낸 것이며, [그림 1]과 [그림 2]의 f(x)의 개형이 동일하기에 잘못 생각하실 수도 있지만 이는 f(x)의 개형이 극값을 갖는다는 가정이 들어간 것이 아닙니다. (보편적인 삼차함수의 개형을 따라 대략적으로 그려진 것이며 극값 여부는 고려하지 않았습니다. 만약 극값을 갖는다는 가정이 들어갔다면 f'(x)의 판별식이 양수라는 조건이 추가적으로 제시되었을 것입니다.)
질문해주신 것과 같이 극값을 고려하여 경우의 수를 더욱 세밀하게 나누어 보겠습니다.
첨부하신 사진의 [그림 1], [그림 2]를 각각 f(x)가 극값을 갖는 경우 가질 수 있는 개형으로 보고,
여기에 f(x)가 극값을 갖지 않는 경우 가질 수 있는 개형을 나타내는 [그림 a], [그림 b]를 추가하겠습니다.
2024.10.17 14:55
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답글
[그림 a]
2024.10.17 14:55
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답글
[그림 b]
2024.10.17 14:55
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답글
(나) 조건인 f'(1)=2를 통해 [그림 1]과 [그림 a]가 원하는 상황임을 알 수 있고,
[수능적 해법]에서의 풀이와 동일하게 식을 세울 수 있으므로 [그림 1], [그림 a] 모두 f(x)=x(x-1)^2+(2x-2)로 계산할 수 있습니다.
이때, 도함수를 통해 f(x)가 극값을 갖지 않음을 알 수 있으므로 극값을 갖는다고 가정한 [그림 1]의 개형은 틀린 것이 되며, [그림 a]의 상황이 정답이 됩니다.
이처럼 질문해주신 것과 같이 f(x)가 극값을 갖는지의 여부까지 따져본다면 고려해야 하는 경우의 수가 더욱 늘어나며, 그래프의 더 정확한 개형을 파악하실 수 있습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
[수능적 해법]에서의 풀이와 동일하게 식을 세울 수 있으므로 [그림 1], [그림 a] 모두 f(x)=x(x-1)^2+(2x-2)로 계산할 수 있습니다.
이때, 도함수를 통해 f(x)가 극값을 갖지 않음을 알 수 있으므로 극값을 갖는다고 가정한 [그림 1]의 개형은 틀린 것이 되며, [그림 a]의 상황이 정답이 됩니다.
이처럼 질문해주신 것과 같이 f(x)가 극값을 갖는지의 여부까지 따져본다면 고려해야 하는 경우의 수가 더욱 늘어나며, 그래프의 더 정확한 개형을 파악하실 수 있습니다.
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