안녕하세요. 이해원 수학연구소 Rapa입니다.

f(x)가 x축과 근을 2개 가지는 경우에 대하여 4가지 케이스를 분류해 주셨는데, 이때 설정하신 x=k는 해설지의 p.72 마지막 줄에서 나오는 x=b와 동일한 의미입니다.

해설지의 내용처럼 f(x)가 x=1이 아닌 다른 곳, 즉 x=b에서 x축과 만난다고 가정하면 (f(x)=0이 근을 3개 갖는 경우는 불가능하므로 2개를 갖는 경우만 확인하겠습니다.) f'(b)=0이고 f(x)가 x=b에서 극소가 아니라면 해설지의 내용처럼 문제 조건 중 일부 식이 발산하므로 상황을 만족시킬 수 없습니다. 따라서 질문하신 4번째 케이스의 경우에는 k와 1 사이에 극솟값을 갖는 지점에서 함숫값이 0이 아니므로 그래프의 개형 자체가 문제 조건을 성립시킬 수 없습니다.

풀이 방향성에 대해서는,
이전에 얻은 결과인 f(1)=0, f'(1)=1/4를 단순 계산만 하더라도 f'(1/2) = -1-p임은 계산할 수 있으므로 p가 정수인 것 이전에 그래프의 개형을 파악하는 것이 매우 중요하므로, f(x)의 개형이 왜 해설지에서 말하는 경우밖에 존재할 수 없는지를 먼저 파악하는 것이 올바른 방향성으로 여겨집니다.

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