2012년 9월 가형 26번 문제입니다.
직선이 타원의 넓이를 이등분하려면 타원의 중심을 지나야 하는 이유가 무엇인지 모르겠습니다.
위의 질문 외에 추가적인 질문입니다.
정삼각형, 정사각형,이등변 삼각형, 등변 사다리꼴, 평행사변형, 마름모에서도 넓이를 이등분하려면 꼭 지나야 하는 점이 있나요?
있다면 그 이유가 궁금합니다.
2024.09.30 14:57
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안녕하세요. 이해원 수학연구소 Rapa입니다.
x축과 y축에 의해 사등분되는 원점을 중심으로 하는 타원을 예시로 들어보겠습니다.
이때 다음 그림처럼 직선 l이 타원의 중심을 지나면 타원의 넓이가 이등분된다는 사실은 쉽게 알 수 있습니다. (그림 1)
x축과 y축에 의해 사등분되는 원점을 중심으로 하는 타원을 예시로 들어보겠습니다.
이때 다음 그림처럼 직선 l이 타원의 중심을 지나면 타원의 넓이가 이등분된다는 사실은 쉽게 알 수 있습니다. (그림 1)
2024.09.30 15:06
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그림 1
2024.09.30 15:07
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이때, 직선 l과 평행하고 중심을 지나지 않는 직선 l'을 생각해 본다면 직선 l'은 타원의 넓이를 절대 이등분하지 않음을 금방 알 수 있습니다. (그림 2)
2024.09.30 15:07
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그림 2
2024.09.30 15:08
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이제 반대로 생각해 보겠습니다.
타원의 중심을 지나지 않는 어떤 직선 l'이 있다고 가정하면, 반드시 l'과 평행하고 타원의 중심을 지나는 직선 l이 존재할 것입니다. 이때 직선 l은 타원의 넓이를 반드시 이등분하므로, 타원의 중심을 지나지 않는 직선은 결코 타원의 넓이를 이등분할 수 없음을 알 수 있습니다.
추가적으로 삼각형이나 일반적인 등변 사다리꼴의 경우에는 넓이를 이등분하는 경우의 수가 많아 이러한 직선들이 반드시 어떤 한 점을 지난다고 보기 어려우며, 평행사변형(직사각형, 정사각형 포함)의 두 대각선의 교점을 지나는 직선의 경우에는 평행사변형의 넓이를 이등분합니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
타원의 중심을 지나지 않는 어떤 직선 l'이 있다고 가정하면, 반드시 l'과 평행하고 타원의 중심을 지나는 직선 l이 존재할 것입니다. 이때 직선 l은 타원의 넓이를 반드시 이등분하므로, 타원의 중심을 지나지 않는 직선은 결코 타원의 넓이를 이등분할 수 없음을 알 수 있습니다.
추가적으로 삼각형이나 일반적인 등변 사다리꼴의 경우에는 넓이를 이등분하는 경우의 수가 많아 이러한 직선들이 반드시 어떤 한 점을 지난다고 보기 어려우며, 평행사변형(직사각형, 정사각형 포함)의 두 대각선의 교점을 지나는 직선의 경우에는 평행사변형의 넓이를 이등분합니다.
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