안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

질문자께서는 ‘0/0꼴의 부정형이기 때문에 식을 약분을 하지 못한다.’라고 하셨는데 이 논리에 오류가 있습니다.
아마도 조금 복잡한 형태의 식을 정리하시느라 질문자께서 개념에 살짝 혼동이 오신 듯합니다.
다시 한 번 차분히 돌이켜 보시면 개념학습을 하시면서 0/0꼴 극한식의 계산과정에서 약분을 사용하신 경험이 많을 것입니다.
f(x)=x(x+1)로 간단한 예시를 들어 문제의 극한식을 계산해 보면 이해가 수월하실 듯합니다.
lim_{h→0}f(x+2h)/f(x+2h) = lim_{h→0}(x+2h)(x+1+2h)/(x+2h)(x+1+2h) = 1이죠.
0으로 한없이 가까워지는 값이더라도, 분모와 분자에 같은 값이 곱해져 있기 때문에 약분할 수 있습니다.
즉, 0.1/0.1, 0.01/0.01, 0.001/0.001, 0.0001/0.0001, ···과 같은 상황인 것입니다.
분모와 분자는 각각 0으로 수렴하지만, 그 값은 1인 상태가 계속 유지되고 있죠.
h→0일 때 분수식 f(x+2h)/f(x+2h)도 값이 1인 상태를 계속 유지하고 있기에 극한값이 1이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

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