안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

f(x)=0인 경우와 f(x)≠0인 경우는 극한의 계산에 있어 전혀 다른 상황이기 때문입니다.
해당 문항은 lim_{h→0}f(x+2h)+f(x)/f(x+2h)의 값을 특정하는 것이 관건입니다.
이때, f(x)=0이면 f(x+2h)+f(x)/f(x+2h) = f(x+2h)/f(x+2h) = 1 ··· Ⓐ이 됩니다.
하지만 f(x)≠0이면 f(x+2h)+f(x)/f(x+2h) = 2f(x)/f(x) = 2 ··· Ⓑ입니다.
질문자께서는 두 경우에 ‘어차피 f(x)는 연속함수인데 왜 계산법이 다른지’가 궁금하신 듯 합니다.
그 이유는 앞선 개념학습과정에서 계속 학습해 오셨듯이 분수식의 극한에서 ‘분모=0이 될 수 있기’ 때문입니다.
분모가 0이 되지 않는다면 극한식이 발산하지 않기 때문에 Ⓑ와 같이 부분적인 함수들을 각각 극한으로 보낸 후 계산하여도 문제가 되지 않지만 분모가 0으로 수렴하는 경우는 그렇게 계산하면 안된다는 것을 학습하셨을 겁니다.
분수식의 극한에서 분모가 0으로 수렴하는 경우에는 미분계수의 정의 혹은 인수분해·0인수 소거를 통해 발산인자를 제거한 후 계산해야 하죠.
그렇기 때문에 해설집에서 Ⓐ와 같은 계산과정을 통해 g(x)를 구한 것입니다.

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