안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

질문자께서 정확히 어떤 사고과정을 거치셔서 답을 내셨는지 명확하지 않아 상세한 답변은 어려울 듯합니다.

① 모든 a에 대해 G(x) 실근이 2개 이하여야 하니 도함수 모양은 무조건 증가 혹은 감소여야 한다는 점을 생각
⇒ 해설집과 동일한 사고과정을 통해 이러한 결론을 내리신지는 모르겠습니다만 일단은 옳은 생각입니다.
(어떤 논리과정을 통해 이러한 결론을 내리셨는지 설명해주시면 맞는 풀이인지 답변을 드릴 수 있을 듯합니다.)
도함수의 모양이 증가만, 혹은 감소만 한다는 것은 원함수가 변곡점을 가지지 않는다는 것을 의미하니까요.

② f′(x)의 근의 개수에 따른 f(x)의 대략적인 모양을 구했습니다.
⇒ 왜 이런 과정을 거치셨는지 추가적인 설명을 해주셔야 답변을 드릴 수 있을 듯합니다.
①에서 내린 결론을 통해 f′(x)가 근을 가지지 않는다면 발문 박스의 조건을 만족시킨다는 것을 알았는데, f(x)의 개형을 추론하는 과정을 거치신 이유가 무엇일까요?
또, G′(x)=f(x)-a이므로, 곡선 y=f(x)만의 x축과의 교점의 개수는 무의미합니다. f(x)식에서 판별식을 적용하신 이유가 있을까요?

*새로운 게시글로 추가 질문하실 필요 없이, 여기에 다시 답글을 달아주시면 답변을 드리도록 하겠습니다.