안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

중복이 발생하였기 때문입니다.

2, 3, 4 중 2로 갈 거를 선택하는 사고과정을 A
3으로 갈 거를 선택하는 사고과정을 B
남은 하나는 1~3 중 자유롭게 가는 사고과정을 C

라고 해봅시다.

A에서 f(2)=2, B에서 f(3)=3, C에서 f(4)=2
를 선택하는 경우와
A에서 f(4)=2, B에서 f(3)=3, C에서 f(2)=2
를 선택하는 경우

는 사실 f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=2 이므로 한 가지 경우인데 두 번 중복해서 카운팅이 됐죠? 이 점 때문에 오류가 생겼습니다.

이처럼 곱의 법칙을 사용하실 때에는 늘 '순서가 부여된다'는 점을 염두에 두셔야 합니다. 앞의 예시에서 A라는 사고과정과 C라는 사고과정 간에 순서가 부여됐기에 같은 것이 두 번 카운팅된 것이죠.

올바르게 풀이하시려면 다음과 같이 전체 경우의 수에서 치역의 원소가 2개, 1개인 경우를 빼시는 것이 안전합니다.

1. 전체 경우의 수: {2, 3, 4}를 {1, 2, 3}에 대응시키면 되므로 27가지
2. 치역 원소가 2개인 경우의 수: 1은 이미 치역에 포함되었으므로, 2, 3 중에 또 다른 치역의 원소를 선택합시다. 2* 를 쓰고 {1, 2}가 치역이라고 고정할 수 있겠죠. 그러면 {2, 3, 4}를 {1, 2}에 대응시킨 뒤, f(2)=f(3)=f(4)=1인 한 가지 경우를 빼면 되므로 원하는 경우의 수는 2*(8-1)=14
3. 치역 원소가 1개인 경우의 수: 치역이 {1}인 경우는 1가지입니다.

따라서 원하는 경우의 수는 27-14-1=12 입니다.

이처럼 치역의 원소에 관한 제약조건이 나올 때에는 치역의 원소 개수를 기준으로 경우를 나눈 뒤, 전체에서 빼는 것이 유리합니다. (339p 참고)


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