안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

질문자께서는 부등식의 양변에 극한을 씌울 때, 등호가 생기는 이유가 궁금하신 듯합니다.
Ⓐ
두 수렴하는 수열 an과 bn에 대하여, an<bn이면 lim_{n→∞}an≤lim_{n→∞}bn이죠.
여기서 등호가 생기는 이유는 극한값이 같을 ‘수도’ 있기 때문입니다.
‘an=1/n, bn=2/n’가 이 경우에 해당되겠죠.
n에 어떤 값을 대입하더라도 항상 an<bn이지만 두 수열의 극한값은 같기 때문에 등호를 붙여주어야 하는 것입니다.
하지만 ‘an=1/n, bn=2+2/n'와 같이 수열의 항들뿐만 아니라 극한값도 더 크기에(lim_{n→∞}an<lim_{n→∞}bn) 등호가 성립하는 상황이 없는 케이스도 있겠죠.
정리하자면 두 수열의 목적지인 극한값이 ‘같을 수도 있기 때문에’ 등호를 붙여주어야 하는 것입니다.
Ⓑ
샌드위치 정리는 이러한 극한의 성질 Ⓐ를 확장한 것입니다.
an<cn<bn일 때, lim_{n→∞}an=lim_{n→∞}bn=α라면, lim_{n→∞}cn=α라는 것이 샌드위치 정리입니다.
보시다시피 여기에서는 이미 ‘수열의 극한값이 같음’을 전제하고 있습니다.
an<cn<bn일 때, Ⓐ를 통해 lim_{n→∞}an=lim_{n→∞}cn‘일 수도 있고’ lim_{n→∞}bn=lim_{n→∞}cn'일 수도 있다‘는 것을 알 수 있습니다.
그런데 샌드위치 정리(Ⓑ)에는 ‘lim_{n→∞}an=lim_{n→∞}bn’이라는 추가적인 전제조건이 달려 있습니다.
그러한 전제조건이 있어서 lim_{n→∞}cn의 값을 알 수 있다는 것이 샌드위치 정리입니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.