안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

시점이 원점, 종점이 (3x+y,x+3y)인 벡터가 어떤 기하적인 의미를 가지는지 파악하기가 어렵기 때문에 더 이상 나아가기가 어렵죠.
교과서적 해법에서 (1,0)과 (0,1)을 예시로 든 이유는 a벡터와 b벡터를 마치 기본벡터인 것처럼 생각해서 풀면 간결하다는 것을 알려주기 위함입니다.
이는 해당 교재 138p~140p의 설명에 나와있는 개념입니다.
평면벡터와 평면좌표는 일대일대응일 뿐만 아니라 우리가 정의한 연산까지 보존합니다. 즉, ‘벡터 = 좌표’이죠.
이를 풀어서 설명해 드리면 다음과 같습니다.
우리가 통상적으로 활용하는 직교좌표계에서는 단위벡터를 (1,0)과 (0,1)로 생각하죠.
이러한 생각을 조금 확장하여 vec{a}=(3,1), vec{b}=(1,3)을 단위벡터로 하는 ‘기울어진 좌표계’를 떠올려봅시다.
즉, a벡터의 연장선을 x축, b벡터의 연장선을 y축이라고 생각하는 것이죠.
그러한 좌표계에서 점 (x,y)는 곧 x(vec{a})+y(vec{b})를 의미하게 된다는 것을 떠올릴 수 있습니다. 그러므로

기울어진 좌표계에서 직선 x+y=1, x≥0, y≥0을 그림 ⇔ x+y=1, x≥0, y≥0을 만족시키는 x, y에 대하여 벡터 x(vec{a})+y(vec{b})의 자취

가 되는 것입니다.

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