안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

질문자께서는 해설에 적힌 ‘g₁(1)은 반드시 상수이므로’의 의미를 ‘g₁(1)≠0이므로’로 받아들이신 것 같습니다.
g₁(1)이 상수라고 함은 g₁(1)=0인 상황도 고려함을 의미합니다.(0이 특별한 것은 맞으나, 그렇다고 상수가 아닌 것은 아닙니다.)
해설에서 g₁(1)이 반드시 상수라고 한 것은 g₁(1)이 발산하지 않는다는 의미입니다.
만약 g₁(1)이 ∞로 발산하면 f₁(1)≠0이더라도 lim{x->1}f₁(x)/g₁(x)이 0으로 수렴할 수 있기 때문이죠.
즉, ①의 마지막 문장에서 말한 a의 값이 1이 되어 g₁(1)=0, f(x)=(x-1)³이 될 수도 있습니다.

아마도 질문자께서는 분수 형태의 극한에서 분모의 극한이 0으로 수렴하는 경우와 0이 아닌 상수로 수렴하는 경우로 나누는 유형의 문제를 떠올리시면서 혼란이 오신 듯 합니다.
그러나 우측의 각주 1)에서 설명하고 있는 바와 같이 g₁(x)의 극한값에 상관없이 f₁(x)의 극한값이 0이 된다는 것을 알 수 있습니다.
다시 한 번 정리해 드리자면, g₁(x)가 다항함수이므로 x→1일 때 g₁(x)의 극한값이 존재하고, 그렇기 때문에 해설에서 g₁(1)의 값이 상수라고 하는 것입니다.

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