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p.81에 최고차항의 차수가 짝수이고 최고차항의 계수가 양수인 다항함수는 적어도 하나의 극솟값을 반드시 갖는다를 사잇값 정리로 어떻게 증명할 수 있을련지요? 그리고 미분법을 배운 학생을 언급하셨는데 미분법하고 어떻게 연관되어서 증명이 되는지 궁금합니다!
2024.07.15 12:46
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.
최고차항의 차수가 짝수이고 최고차항의 계수가 양수인 다항함수를 f(x)=ax²ⁿ+ ··· (a>0)라 하면
lim_{x→∞}f(x)=∞, lim_{x→-∞}f(x)=∞ 입니다.
따라서 ① f(x)에는 감소하다가 증가하는 구간이 반드시 있어야 합니다.
이때 미분법을 배운 학생이라면 ‘롤의 정리’를 떠올릴 수 있을 것입니다.
② 다항함수 f(x)=ax²ⁿ+ ··· (a>0)에 대하여 f(m)=f(n)이 되도록 하는 임의의 실수 m, n이 반드시 존재하고 f′(k)=0인 k가 열린구간 (m,n)에 적어도 하나 존재합니다.
이제 이러한 2가지 사실(①과 ②)을 엮어서 생각해 보면 다항함수 f(x)는 f(m)=f(n), f′(m)<0, f′(n)>0인 임의의 실수 m, n에 대하여 열린구간 (m,n)에 반드시 극소인 지점이 존재한다는 것을 알 수 있습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
최고차항의 차수가 짝수이고 최고차항의 계수가 양수인 다항함수를 f(x)=ax²ⁿ+ ··· (a>0)라 하면
lim_{x→∞}f(x)=∞, lim_{x→-∞}f(x)=∞ 입니다.
따라서 ① f(x)에는 감소하다가 증가하는 구간이 반드시 있어야 합니다.
이때 미분법을 배운 학생이라면 ‘롤의 정리’를 떠올릴 수 있을 것입니다.
② 다항함수 f(x)=ax²ⁿ+ ··· (a>0)에 대하여 f(m)=f(n)이 되도록 하는 임의의 실수 m, n이 반드시 존재하고 f′(k)=0인 k가 열린구간 (m,n)에 적어도 하나 존재합니다.
이제 이러한 2가지 사실(①과 ②)을 엮어서 생각해 보면 다항함수 f(x)는 f(m)=f(n), f′(m)<0, f′(n)>0인 임의의 실수 m, n에 대하여 열린구간 (m,n)에 반드시 극소인 지점이 존재한다는 것을 알 수 있습니다.
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