안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

단순히 g(x)=1/2이라는 식을 세워서 풀기에는 삼각함수가 가진 특성(주기성)에 의해 k의 값이 여러 개 나올 것이기 때문에 그와 같은 범위 제한이 필요합니다.
특수한 상황이 아닌 이상 대부분의 문제들에서 삼각함수의 각에 제한을 두는 가장 쉬운 방법은 단위원에서 사분면 단위로 범위를 제한하는 것입니다.
(삼각함수는 단위원으로써 정의하는 개념이기도 하고, 그래프를 봐도 알 수 있듯이 4등분하는 것이 가장 자연스럽기도 하고 쉽기 때문이죠.)
그림을 보니 직선 y=1/2은 sin의 그래프와 “단위원의 1사분면의 범위”에서 만나니까, 구간 [0,1]에 속한 x에 대하여 0<kπx<π/2가 되도록 0<kπ<π/2로 kπ의 범위를 한정한 것입니다.
즉, 삼각함수 sin(kπx)에 대하여 동경의 일반각의 범위를 제 1사분면으로 한정함으로써 sin값이 중복되는 경우가 없도록 한 것이죠.
만약 이렇게 대략적으로 kπ의 범위를 한정하지 않고 넘어갔더라면, 마지막에 방정식 sin(kπ)=1/2을 풀 때 k=5/6인 경우도 가능한지 가능하지 않은지 따로 판단이 필요했을 것입니다.

※ 원하는 상황을 그래프로 그린 다음에 답을 구하려면 이를 수식으로 써야 하죠.
이때, 써내려간 수식이 그림의 상황을 온전히 담고 있는지, 즉, 그림에 담긴 의미와 수식의 의미가 완전히 동치인지 반드시 확인해야 합니다.
해당 문제에서 질문자께서 그리신 그림(또는 해설집에 그려져 있는 그림)에 담겨진 의미는 단순히 ‘g(x)=1/2’이 아니라 ‘직선 y=1/2이 (0, 1)에서 g(x)의 첫번째 1/4주기와 만난다.’입니다.
그렇기 때문에 그림과 완전히 동일한 의미를 담은 수식을 쓰려면 k의 값에 제한조건을 걸어주어야 하는 것입니다.

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