안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

결론부터 말씀드리자면, 식이 정점 하나만 주어진 경우는 그 지점에서 함숫값을 준 것이나 다름없습니다. 그렇기에 이를 활용하여 함수식을 완벽하게 작성할 수 있어야 합니다. 함수식이 완벽하게 작성되었다면, 미분가능할 경우 도함수도 구할 수 있습니다.

x가 4가 아닐 때에는 분모가 0이 되지 않으므로 약분하여 (x-a)(x-4)라고 함수식을 구할 수 있습니다. 미분가능하므로 x가 4가 아닐 때의 도함수도 구하실 수 있지요. 여기까진 질문자님께서도 잘 하신 것으로 보입니다.

그럼 x=4에서의 도함숫값은 어떻게 구하냐? 가 헷갈리시는 것 같은데, 사실 x=4에서 h(x)의 식이 2(x-4)²(x-a)이므로 대입하면 h(4)=0이 됩니다.

x가 4가 아닐 때의 그래프를 그려보신 뒤(이때는 x=4가 정의역이 아니므로, 여기서만 구멍이 뚫린 그래프가 생성되게 됩니다)
x=4일 때에는 h(4)의 값을 점으로 찍어 주시면(h(4)=0이므로 (4, 0)을 채워 주시면 됩니다) 그 그래프는 (x-4)(x-a)와 완벽히 동일함을 어렵지 않게 파악하실 수 있습니다.

이는 곧 함수 h(x)의 식이 (x-4)(x-a)임을 의미합니다.

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