안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

1. 쉬운 예시로, f(x)가 구간 [0, 1]에서 x²이고, 모든 실수 x에 대해 f(x+1)=f(x)+1을 만족시킨다고 해 봅시다.

이때 x자리에 0을 집어넣으면 좌변에는 f(1)이 출력되고 우변에는 그 값인 0+1이 출력됩니다. 0.1을 집어넣으면 f(1.1)이 좌변에, 우변에는 그 값인 0.1²+1이 출력되고, 0.5를 집어넣으면 좌변엔 f(1.5)가, 우변엔 0.5²+1이 출력됩니다.

이처럼 x자리에 0부터 1까지 차례대로 집어넣으면 좌변의 f(x+1)에서는 f(1)부터 f(2)까지가 출력되고, 우변에는 실제 그 값이 출력되므로 f(1)부터 f(2)까지의 모든 함숫값들을 알아낼 수 있습니다.

이렇게 함수를 정의하는 방법을 '함수의 귀납적 정의'라고도 부릅니다. 마치 수열의 귀납적 정의처럼, 연쇄적으로 함숫값을 얻어낼 수 있는 구조이지요.

2. 양변에 x+1을 대입한 것이 아니라, (나)조건의 항등식의 f(x)자리에 x를 쓴 것에 불과합니다. 범위가 [0, 1]로 제한되었기에 f(x)=x이기 때문입니다.

3. 해당 풀이는 논리적으로 비약이 꽤나 있는 풀이입니다. 실수 전체의 집합에서 f(x)가 미분가능이기에 답은 똑같이 나오긴 합니다.

[-1, 0]에서 f(x+1)=x+1, [0, 1]에서 f(x)=x를 이용하여 x=0근방에 대입하여 미분가능하다는 조건을 이용해 푸신 걸로 보입니다.

논리적인 비약을 말씀드리겠습니다.

우선, 연속의 의미는 좌극한과 우극한, 함숫값이 같다는 것입니다. 좌극한을 따질 때에는 x<0이기 때문에 (x+1)의 식은 알지만 f(x)의 식은 모르기 때문에 x로 간주하시면 안 됩니다. 마찬가지 논리로 우극한을 따질 때에는 x>0이기 때문에 f(x)의 식은 알지만 f(x+1)의 식은 아직 모릅니다.

미분계수 또한 좌미분계수와 우미분계수를 따지셨는데, 마찬가지 논리로 f(x)를 x로, f(x+1)을 x+1로 모두 대체하시면 논리적으로 비약이 많은 풀이입니다.

그럼에도 답이 나오셨던 이유는 f(x)가 미분가능하므로 x=0근방에서의 함숫값, 극한값, 도함숫값이 x=0-이든, x=0이든, x=0+이든 모두 같기 때문입니다.

좌미분계수를 구하실 때 x+1-x²=ax+b를 양변 미분하시면 안 됩니다. f(x)를 x<0일 때는 모르기 때문입니다.

대신 올바르게 푸시려면

x+1-xf(x)=ax+b의 양변을 미분하여

1-f(x)-xf'(x)=a

를 얻어내신 뒤, 여기에 x=0-를 대입하면

1-f(0-)=a

가 되는데,

f(0-)=f(0)=0

이므로(연속이기 때문)

a=1

이 되는 것입니다. 이 과정을 생각하지 못하셨다면 논리적으로 올바르지 못한 풀이입니다.

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