안녕하세요. 이해원 연구소 coronium입니다.

[수능적 해법]에서

함수 xᵏf(x)가 x=0에서 미분가능면 도함수 {xᵏf(x)}'이 x=0에서 연속이다.

라는 개념을 사용하고 있습니다. 물론 일반적으로 어떤 함수 g(x)가 x=a에서 미분가능하다고 해서 반드시 도함수 g'(x)가 x=a에서 연속일 필요는 없지만* [수학II]에서는 다항함수의 미분가능성을 다루기 때문에, 다항함수에 한해서 자유롭게 사용 가능한 정리입니다.

만약 'x=0이 밑이 될 수 없다'고 판단하신 근거가 '지수함수의 밑은 1이 아닌 양수이다'라면 [수학I]의 지수법칙 개념을 다시 학습해 주시기 바랍니다. 본 문제에서와 같이 지수가 자연수인 경우에는 밑이 0 또는 음수여도 연산이 가능하며, 지수함수에서 밑을 1이 아닌 양수로 제한하는 이유는 다음과 같습니다.

1. a=0인 경우 밑이 a=1인 경우와 마찬가지로 aˣ의 값이 x의 값에 관계없이 0이다.
2. a<0인 경우 x가 유리수이면 aˣ의 값이 복소수이며, x가 무리수이면 aˣ의 값을 대수적으로 계산할 수 없다.

본 문제에서는 xᵏ을 지수함수가 아닌 다항함수로서, x의 거듭제곱으로 다루고 있기 때문에 x=0을 대입해도 문제되지 않습니다.

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