안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

1. 논리적으로 미분가능성 여부를 보이셨기에, 검정 펜으로 쓰신 것처럼 생각하셔도 괜찮습니다. 똑같은 명제더라도 증명하는 방법은 여러 가지니까요 :) 책에 있는 것이 수식을 활용한 엄밀한 증명이라고 보시면 되고, 질문자님의 생각이 좀 더 직관적인 증명입니다. 논리적 오류는 없습니다.

핵심은 g(x)의 x=-2에서의 미분가능 여부를 보인 뒤에야 미분법을 활용해 g'(-2)를 쓸 수 있다는 것입니다.

2. h(x)는 f(x)-f(4)에 x²을 합성한 함수입니다. x=-2일 때 x²은 미분가능하고, f'(4)가 존재하므로 x=4에서 f(x)-f(4)도 미분가능합니다. 따라서 두 함수를 합성한 합성함수 f(x²)-f(4)는 x=-2에서 미분가능합니다.

3. 미분가능한 x들에 대해서는 {f(x²)}'=2xf'(x²) 라고 충분히 쓸 수 있습니다. 다만, 실수 전체에 대해 이 식이 성립한다고 하면 논리적 결함이 되는 것이지요. f(x²)는 x=-2에서 미분가능하므로 x=-2일 때는 {f(x²)}'=2xf'(x²)가 성립합니다.

이 문제를 통해서는 다음 교훈을 챙겨 가시면 충분합니다. -> [미분가능성이 보장되지 않은 함수에서 미분을 하고 있지는 않은가?]

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