안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

네, 맞습니다. 역함수를 다룰 때에는 '공역을 치역으로 본다'고 생각해주시면 됩니다. 자동으로 공역이 치역으로 한정됨으로써, 일대일함수만 되면 일대일대응으로 볼 수 있는 것입니다.

특별한 언급이 없다면 '역함수값이 정의될 수 있는 실수 전체의 집합'이 역함수의 정의역입니다. 그렇기에 역함수의 정의역은 원함수의 치역이 됩니다. [원함수의 치역=역함수의 정의역]에 대해서 역함숫값이 존재하기만 한다면, 역함수가 존재한다고 할 수 있습니다. 정의역에서 함수가 잘 정의되기만 하면 해당 함수가 존재한다는 것과 같은 맥락입니다.

특별한 언급이 없다면 함수의 정의역은 해당 함수가 정의 가능한 집합으로 한정되기 때문입니다. 실제 평가원 기출에서도 로그함수를 제시할 때 '양의 실수 전체의 집합에서 정의된'이라는 조건을 매번 붙이지는 않죠. 이와 같은 논리라고 보시면 됩니다.

참고로 지수함수와 로그함수를 처음 배울 때 두 함수가 역함수 관계에 있음을 배우는데, 이때에도 지수함수의 공역을 치역인 양의 실수 전체의 집합으로 잡고 생각합니다. 질문자님의 논리대로라면 지수함수 y=2^x도 0 이하의 y값에 해당하는 x값이 존재하지 않으므로 역함수가 존재하지 않는 것이 됩니다. 이는 이상하죠? :)

결론: 특별한 언급이 없다면 함수의 정의역은 '함숫값이 정의 가능한 실수 전체의 집합'이다. 이는 역함수도 마찬가지이고, [원함수의 치역=역함수의 정의역]에서 역함수가 잘 정의되었다면 역함수가 존재한다고 본다. 역함수가 존재하므로 공역=치역을 만족하도록 공역을 잡으면 논리적으로 문제가 없다.

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