안녕하세요. 이해원 연구소 coronium입니다.

말씀해주신 것처럼 x/f(x) 형태의 조건을 역수로 바꾸지 않고 그대로 이용하여 f(x+1)/f(x)의 극한값을 구하는 풀이가 가장 이상적일 겁니다. 다만 해설에서는

1/A, 1/B → B/A=(1/A)÷(1/B)

와 같은 풀이를 떠올리기 힘든 경우 이용할 수 있는, 조금 더 범용적인 풀이를 제시하고 있는 것 같습니다. 특히 함수의 극한이나 미분계수의 정의를 이용하는 문제에서 x/f(x) 형태의 극한보다는 f(x)/x 형태의 극한이 많이 출제됐으니, 더 익숙한 형태를 이용하려고 한 것 같습니다.

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사족을 붙이자면 해설에서는 언급하지 않았지만, f(x+1)/f(x)에서

"x→0일 때 f(x), f(x+1) 모두 0으로 수렴하기 때문에 0/0 형태의 극한이구나"

라는 생각을 할 수 있습니다. 이에 대한 근거는

"x→0일 때 x/f(x)→1(≠0)인데 분자가 0으로 수렴하니까 분모도 0으로 수렴해야 0/0 형태가 되어 1로 수렴할 수 있겠구나"

보다는

"x→0일 때 f(x)/x→1이므로 f(x)/x와 x를 곱한 f(x)는 각각의 극한값인 1과 0의 곱인 0으로 수렴하겠구나" …(*)

가 조금 더 논리적인 접근입니다. 이와 같은 논리는 x/f(x) 형태의 극한을 f(x)/x 형태로 바꿔을 때 조금 더 자연스럽게 느껴질 겁니다. (*)의 내용은 식이 다소 복잡한 관계로 사진으로 첨부한 점 양해 부탁드립니다.

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