수2 해설 p194 논리적 정당화에 대한 질문입니다.
이 부분을 ‘항등식이라서’라고 치환해서 볼 수는 없는건가용?
전 항등식이기에 바로 성립한다고 생각했는데 오개념일까요 ㅠ
감사합니다
2024.05.03 15:24
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 coronium입니다.
항등식
(x-1)f(x)=3x(x-1)(x²+x+1)
에서 양변을 x-1로 나누어도 등식이 성립하는 것은 맞지만, x=1일 때는 x-1=0이므로 주어진 항등식의 양변을 x-1로 나눌 수 없습니다. 실제로 주어진 항등식에 x=1을 대입하면
0×f(1)=0
에서 f(1)의 값을 구할 수 없는 식을 얻게 됩니다. 다만 이 문제에서는 f(x)가 다항함수(=연속함수)이므로 x≠1일 때 f(x)=3x(x²+x+1)임을 이용하여 f(1)=9이므로 x=1일 때에도 f(x)=3x(x²+x+1)이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
항등식에 대한 오개념이 있다기보다는 '특정 조건(x≠1)에서만 가능한 연산을 통해 구한 항등식은 원래 항등식과 같지 않을 수 있다'는 점을 간과하신 것 같습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
항등식
(x-1)f(x)=3x(x-1)(x²+x+1)
에서 양변을 x-1로 나누어도 등식이 성립하는 것은 맞지만, x=1일 때는 x-1=0이므로 주어진 항등식의 양변을 x-1로 나눌 수 없습니다. 실제로 주어진 항등식에 x=1을 대입하면
0×f(1)=0
에서 f(1)의 값을 구할 수 없는 식을 얻게 됩니다. 다만 이 문제에서는 f(x)가 다항함수(=연속함수)이므로 x≠1일 때 f(x)=3x(x²+x+1)임을 이용하여 f(1)=9이므로 x=1일 때에도 f(x)=3x(x²+x+1)이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
항등식에 대한 오개념이 있다기보다는 '특정 조건(x≠1)에서만 가능한 연산을 통해 구한 항등식은 원래 항등식과 같지 않을 수 있다'는 점을 간과하신 것 같습니다.
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