안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

질문자님의 말씀대로 보라색 직선은 곡선 y=f(x)와 한 점에서만 접하고, 다른 한 점에서는 접선이 아닌 교점만을 갖습니다. 그럼에도 한 점에서 접하기 때문에 곡선과 직선이 '접한다'라고 표현하는 것입니다. 질문하신 상황처럼 곡선과 직선이 접점과 교점을 여러 개 가질 때에는, 여러 교점들 중 어디서 접하는지만 확실히 표기하면 됩니다.

수학에서의 접선의 정확한 정의는 다음과 같습니다.

"곡선 위의 점 P에 대하여 곡선 위를 움직이는 점 Q가 P에 한없이 다가갈 때 직선 PQ가 하나의 직선으로 수렴한다면 그 극한 위치의 직선을 P에서의 접선이라 하고, 점 P를 접점이라 한다"

위의 정의에 대한 상세한 설명은 한완수 119p에도 나와 있으니, 해당 페이지를 참고하시기 바랍니다.
접선의 정의에 따라 119p의 직선 AP가 수렴하는 직선 l이 접선, A는 접점이라 약속합니다.

질문자님께서 가지고 계신 접선에 대한 오개념은 아마 "접선은 곡선을 스치고 지나가야 하며, 곡선을 가로질러서는 안 된다"일 겁니다. 이러한 오개념이 발생한 원인은 '접선'이라는 용어를 중학교 때 원의 접선을 배우며 처음 공부하기 때문일 겁니다.

중학교 때 학습하신 이차함수나 원의 접선에 한해서는 접선이 곡선을 '가로지르지 않는다', '한 점에서 만난다'등이 사실이기 때문에 일반적인 곡선의 접선을 배울 때 혼동이 생깁니다. 접점의 엄밀한 수학적 개념을 익히지 못하고 단순히 "튕긴다" 정도로 학습하시면 그러한 오개념이 생기게 됩니다.

y=0 은 y=x^3의 접선입니다. 이처럼 삼차함수의 변곡점을 가로지르는 직선 또한 접선의 정의상 "접한다"고 표현합니다.

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