안녕하세요. 이해원 연구소 coronium입니다.

그림과 같이 삼각형 ABC의 무게중심 G는 두 중선 AP, BQ의 교점과 같습니다. (원칙적으로 무게중심은 세 중선의 교점으로 정의되지만, 임의의 삼각형에서 한 중선은 나머지 두 중선의 교점을 무조건 지나기 때문에 두 중선의 교점만 생각해도 됩니다.)

점 Q를 지나고 선분 AP에 평행한 직선이 선분 BC와 만나는 점을 R이라 하겠습니다. 두 선분 GP, QR이 평행하므로 두 삼각형 BGP, BQR이 서로 닮음이고 닮음비는 BP:BR=2:3입니다. 마찬가지로 두 선분 AP, QR이 평행하므로 두 삼각형 CAP, CQR이 서로 닮음이고 닮음비는 CP:CR=2:1입니다. 이때 GP=2k라 하면 QR=3k이고 AP=6k이므로 무게중심 G가 중선인 선분 AP를 2:1로 내분한다는 결론을 얻을 수 있습니다.

이제 이러한 무게중심의 성질을 이용하여 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)라 하면 P(x₂+x₃/2, y₂+y₃/2)이고 G(x₁+x₂+x₃/3, y₁+y₂+y₃/3)를 얻을 수 있습니다.

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