ㄷ에서 왜 k>2 인지 이해가 안가요
2024.03.28 21:18
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.
x^kf(x)가 x=0에서 미분 가능하기 위해서는 {x^kf(x)}′의 x=0에서의 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
x^(k-1){k-(k+1)x}=x^(k-1){(k+2)x²-k} ⇔ x^(k-1){(k+2)x²+(k+1)x-2k}=0
이때 {(k+2)x²+(k+1)x-2k}|ₓ₌₀=-2k(≠0)이므로 x=0에서 미분가능하려면 x^(k-1)|ₓ₌₀=0이어야 합니다.
이때 k=1이라면 x^(k-1)|ₓ₌₀=1이죠. 따라서 자연수인 k에 대하여 k≥2이어야 합니다.
첨언을 하자면, k=1인 경우 {x^kf(x)}′는
1-2x (x<0)
3x²-1 (0<x<1)
이므로 x=0에서 도함수의 좌극한은 1, 우극한은 –1입니다. 따라서 x=0에서 미분가능하지 않습니다.
k≥2이면 {x^kf(x)}′의 좌극한값과 우극한값이 0으로 같습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
x^kf(x)가 x=0에서 미분 가능하기 위해서는 {x^kf(x)}′의 x=0에서의 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
x^(k-1){k-(k+1)x}=x^(k-1){(k+2)x²-k} ⇔ x^(k-1){(k+2)x²+(k+1)x-2k}=0
이때 {(k+2)x²+(k+1)x-2k}|ₓ₌₀=-2k(≠0)이므로 x=0에서 미분가능하려면 x^(k-1)|ₓ₌₀=0이어야 합니다.
이때 k=1이라면 x^(k-1)|ₓ₌₀=1이죠. 따라서 자연수인 k에 대하여 k≥2이어야 합니다.
첨언을 하자면, k=1인 경우 {x^kf(x)}′는
1-2x (x<0)
3x²-1 (0<x<1)
이므로 x=0에서 도함수의 좌극한은 1, 우극한은 –1입니다. 따라서 x=0에서 미분가능하지 않습니다.
k≥2이면 {x^kf(x)}′의 좌극한값과 우극한값이 0으로 같습니다.
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