안녕하세요, 이해원 연구소 까마귀입니다.

{1/k +1/(k+1) + 1/(k+2) + … 1/n}의 값은 n=1일 때 1입니다.
아마 표기법 때문에 헷갈리신 것 같은데, 간단한 비유를 하나 하겠습니다.
1+2+3+ ... +n의 값은 n=1일때 얼마일까요? 답은 1입니다. 이걸 가지고 "1+2+3+...+1은 1이 아닌데?" 라고 생각하는 사람은 없겠지요.
왜냐하면 이것은 1부터 n까지의 숫자를 더하라는 것을 축약해서 표기한 약속이기 때문입니다. 1부터 1까지의 숫자를 더한 건 1이겠지요.
마찬가지로 {1/k +1/(k+1) + 1/(k+2) + … 1/n}도 1/k부터 1/n까지 전부 더하라는 약속일 뿐입니다.
예컨대, k=2이고 n=6이라면 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6이 되겠지요.
지금 제시된 상황처럼 k=1, n=1일 때는 1/1부터 1/1까지 전부 더하라는 것이기 때문에, 1/1하나만 더하면 됩니다. 그래서 그 값은 1입니다.
이처럼 이러한 표기법은 n이 충분히 클 때를 전제하고 작성된 표기법이기 때문에 n이 작을 때는 질문자님처럼 헷갈리실 수도 있겠습니다.
"1/k부터 1/n까지 더해라"는 명령을 "{1/k +1/(k+1) + 1/(k+2) + … 1/n}"이라고 수식으로 표기한 것으로 이해해 주시면 되겠습니다.

이 약속을 이해하기만 한다면 시그마 내부에 n이 포함된 식도 잘 처리하실 수 있습니다.
시그마 k=1부터 n까지 {1/k +1/(k+1) + 1/(k+2) + … 1/n}은 그냥 차례대로 k에 1부터 n까지를 집어넣어 모두 더하기만 하면 됩니다.
k=1일 때 1/1+1/2+1/3+1/4+...+1/n
k=2일 때 1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n
k=3일 때 1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/n
...
k=n일 때 1/n
여기서 1/1이 1개, 1/2가 2개, 1/3이 3개, 1/4가 4개... 1/n이 n개 있으므로
시그마 k=1부터 n까지 {1/k +1/(k+1) + 1/(k+2) + … 1/n}의 값은 n입니다.
교과서에서 배우지 않은 수열의 합은 따로 공식을 외우실 필요 없습니다. 문제에서 시키는 대로 진행하기만 하면 됩니다.

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