안녕하세요. 이해원 연구소 까마귀입니다.

네 맞습니다. 질문자님께서 말씀하신 것처럼 a=-1일 때도 가능합니다.

다만, 이 문제의 ㄷ선지의 경우, a=1인 경우만 보여도 거짓임을 보이기 충분하기 때문에 해설지에서는 a=1인 경우만 보인 것입니다.

해설지의 내용에 대하여 필요조건과 충분조건을 사용해 조금 더 부연설명을 하겠습니다.

함수 f(x)f(x-a)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 필요조건은 x=-1과 x=1에서의 불연속점이 제거되는 것입니다.
(함수 f(x-a)가 불연속인 지점도 존재하기 때문에, 필요충분조건은 아닌 것입니다!)

"곱함수의 연속성"을 떠올려 보면, x=-1에서의 불연속점이 제거되기 위한 필요충분조건은 a=-3, a=-1, a=1이고, x=1에서의 불연속점이 제거되기 위한 필요충분조건은 a=-1, a=1. a=3 입니다.
(물론, a=0일 경우는 불연속*불연속 이므로 "곱함수의 연속성"을 사용할 수 없습니다. 이 경우에는 직접 확인해봐야 하지만, 안 되는 걸 쉽게 파악할 수 있습니다.)

따라서 f(x)f(x-a)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위해서는 a=-1 또는 1이 되어야만 합니다. 다만, 이것은 필요조건일 뿐이므로 실제 a=-1, a=1일 때 해당 함수가 연속이 되나 체크해보아야 합니다. 체크해 보면 둘 다 되는 것을 알 수 있고, f(x)f(x-a)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 필요충분조건은 a=-1. a=1임을 알 수 있습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.