안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

단순히 g(x)=1/2이라는 식을 세워서 풀기에는 삼각함수가 가진 특성(주기성) 때문에 k의 값이 여러 개 나올 것이기 때문입니다.
특수한 상황이 아닌 이상 대부분의 문제들에서 삼각함수의 각에 제한을 두는 가장 쉬운 방법은 단위원에서 사분면 단위로 범위를 제한하는 것입니다.
(삼각함수는 단위원으로써 정의하는 개념이기도 하고, 그래프를 봐도 알 수 있듯이 4등분하는 것이 가장 자연스럽기도 하고 쉽기 때문이죠.)
그림을 보니 직선 y=1/2은 sin의 그래프와 “단위원의 1사분면의 범위”에서 만나니까, 구간 [0,1]에 속한 x에 대하여 0<kπx<π/2가 되도록 0<kπ<π/2로 kπ의 범위를 한정한 것입니다.
즉, 삼각함수 sin(kπx)에 대하여 동경의 일반각의 범위를 제 1사분면으로 한정함으로써 sin값이 중복되는 경우가 없도록 한 것이죠.
만약 이렇게 대략적으로 kπ의 범위를 한정하지 않고 넘어갔더라면, 마지막에 방정식 sin(kπ)=1/2을 풀 때 k=5/6인 경우도 가능한지 가능하지 않은지 따로 판단이 필요했을 것입니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.