안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

(댓글에 첨부한 이미지를 참고하여 읽어주세요.)

해당 개념의 내용은 다음과 같습니다.

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(넓이)=(밑변)*(높이) (비율만 따지는 것이므로 1/2는 생략하겠습니다.)

이므로, 밑변이 동일하면 (넓이비)=(높이비), 높이가 일정하면 (넓이비)=(밑변비)이다.
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즉, 두 삼각형에서 '어느 것이 동일한지'를 체크하는 것이 중요합니다.
접근 방법을 보기 위해 먼저 S:T부터 확인하면, 두 삼각형 GBM, GMC의 [높이가 동일]하므로 [(넓이비)=(밑변비)]가 되어 S:T=a:b가 됩니다.

이때 △GBM와 △GMC의 밑변을 GM으로 보게 되면 두 삼각형의 [밑변이 동일]하므로
[(넓이비)=(높이비)]입니다. 즉, 그림에서 h₁:h₂=a:b임을 알 수 있습니다.

이제 S', T'을 넓이로 하는 두 삼각형 ABG, AGC를 보겠습니다. 두 삼각형의 밑변을 AG로 보면, [밑변이 동일]하므로 [(넓이비)=(높이비)]가 성립합니다. 그런데 △ABG와 △AGC의 높이는 각각 h₁, h₂이므로 S':T' = h₁:h₂ = a:b임을 알 수 있습니다.

*개념 적용을 위해 넓이비를 적극적으로 이용하여 단계별로 설명을 드렸지만, 심플하게는 △BH₁M, △CH₂M의 닮음비로부터 h₁:h₂=a:b만 알아낸 뒤 △ABG와 △AGC의 밑변을 AG로 두면 쉽게 보일 수 있습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.