안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

p273 ⑤의 해설에 대한 부가적인 설명이 필요하신 듯합니다.

f′(a)가 존재한다.
⇔ lim_{h→0}f(a+h)-f(a)/h 가 존재한다.
⇔ lim_{h→0+}f(a+h)-f(a)/h = lim_{h→0-}f(a+h)-f(a)/h 이다.
입니다. ⑤의 해설을 보시면
lim_{h→0}f(a+2h)-f(a-h)/3h 가 존재한다. ⇔ 2/3β+1/3α=2/3α+1/3β ⇔ α=β 임을 알 수 있죠.
즉, α=β ⇔ lim_{h→0+}f(a+h)-f(a)/h = lim_{h→0-}f(a+h)-f(a)/h 이므로 함수 f(x)는 x=a에서 미분가능한 것입니다.

하지만 ④의 경우는 이와 다릅니다.
lim_{h→0}f(a+h)-f(a-h)/2h 가 존재한다. ⇔ 1/2β+1/2α=1/2α+1/2β ··· Ⓐ입니다.
Ⓐ는 α≠β여도 성립하는 등식입니다.
즉, x=a에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같지 않아도 lim_{h→0}f(a+h)-f(a-h)/2h 가 존재할 수 있으므로 ④는 거짓입니다.

엄밀하게 따져보아야 ④와 ⑤의 차이점을 놓치지 않고 파악하실 수 있으니, 차분히 생각해 보시는 것을 추천드립니다:)

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