안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

대략적인 범위를 한정하기 위한 것은 맞으나, 특별한 이유가 없는 것은 아닙니다.
결론을 도출하기 위한 필연적인 논리가 있기에 해설집에 쓰여있는 것이죠.
질문자께서는 다른 방식으로 k의 범위를 한정할 수도 있을 것 같은데 “왜 굳이” 범위를 저렇게 설정했는지가 궁금하신 것 같습니다.
해설집에 적혀있지 않은 사고과정을 아래에 자세히 풀어써 드리겠으니 차분히 읽어보시기 바랍니다.

나는 k의 최댓값을 찾아야 해.
그러면 k가 아주 작은 순간부터 점차적으로 k의 값을 키우면서 조건을 더 이상 만족하지 않는 순간을 찾아야겠지?
k가 음수인 상황은 어차피 답에 맞지 않을 것이니, 0에 아주 가까운 순간부터 k의 값을 늘려가 보며 그래프의 변화를 살펴보아야겠다.
k의 값을 점점 키워보았을 때 함수 g(x)의 그래프의 주기가 점점 짧아지니까(p167에 나와 있는 도형의 조작-미지수의 변화에 따른 그래프의 확대·축소를 동영상처럼 머리에 떠올림) 두 함수 f(x)와 g(x)가 만나지 않으려면 해설집에 나와 있는 그림처럼 될 때까지 k의 값을 키울 수 있겠다.
근데 단순히 g(x)=1/2이라는 식을 세워서 풀기에는 삼각함수가 가진 특성(주기성) 때문에 k의 값이 여러 개 나올 것이란 말이지.
이 그림과 완전히 동일한 의미를 담은 수식을 쓰려면 k의 값에 제한조건이 필요하겠는데?
⋆특수한 상황이 아닌 이상 대부분의 문제들에서 삼각함수의 각에 제한을 두는 가장 쉬운 방법은 단위원에서 사분면 단위로 범위를 제한하는 것이야.
삼각함수는 단위원으로써 정의하는 개념이기도 하고, 그래프를 봐도 알 수 있듯이 4등분하는 것이 가장 자연스럽기도 하고 쉽기 때문이지.
그림을 보니 직선 y=1/2은 sin의 그래프와 “단위원의 1사분면의 범위”에서 만나니까, 구간 [0,1]에 속한 x에 대하여 0<kπ<π/2 정도의 제한조건을 옆에 적어주면 적절하겠다. 따라서 k=1/6이네.

정리 : 삼각함수는 단위원에서의 사분면별로 각에 제한조건을 걸어주는 것이 가장 식을 단순하게 적어내는 방법이기 때문에 해설집과 같이 적었다고 이해하시면 될 것 같습니다.

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