안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.
올려드린 이미지와 함께 설명을 읽어주시기 바랍니다.

질문자께서는 점 P에서의 미분계수가 왜 1인지를 궁금해 하시는 듯합니다.
삼각형 OAP의 넓이가 최대가 되려면 점 P가 직선 y=x와 최대한 멀리 떨어져야 하겠죠.
그런데 점 P가 가장 멀리 위치하게 되는 경우가 언제인지 정확히 파악하기가 어렵습니다.
그래서 높이가 가장 클 때를 파악하기 위해 밑변 OA와 평행한 직선들(이 문제의 경우에는 기울기가 1인 직선들이겠죠?)을 여러 개 그어보아야겠죠.(∵ 삼각형의 높이 = 평행한 두 직선 사이의 거리)
그 결과 밑변과의 거리가 가장 먼 직선 위에 점 P가 있을 때 삼각형 OAP의 넓이가 최대가 됩니다.
이는 올려드린 이미지에서 단순히 점 P₁과 점 P₂를 비교해 보더라도 알 수 있습니다.
즉, 직선 y=x와 평행한 수많은 직선들 중 선분 PH의 길이가 가장 큰 상황은 함수 f(x)와 기울기가 1인 직선이 접할 때임을 쉽게 알 수 있습니다.
첨언을 하자면 점 P는 함수 f(x) 위의 점이어야 하기에 빨간색 접선(점 P₁에서의 접선)보다 위에 평행한 직선을 그리는 것은 의미가 없습니다.

<정리>
밑변의 길이가 고정된 삼각형의 넓이가 최대인 상황을 찾으려면 밑변과 평행한 직선들 중 밑변과의 거리가 가장 먼 직선을 찾아야 한다.
이때, 여러 평행한 직선들 중 가장 멀리 떨어진 직선은 그래프 모양의 특성상 ‘함수 f(x)에 접하는 기울기가 1인 직선’이다.
그렇기 때문에 미분계수가 1인 점의 위치를 정답인 상황으로 집은 것이다.

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