순간변화율에 대한 정의 질문입니다.
순간변화율=한점은 정점 한점은 동점인 평균변화율 식에서 동점을 정점으로 한없이 가까이 보낸 것이므로 순간변화율의 lim안에 식은 평균 변화율 꼴이어야한다. 제가 이해한게 맞는지요?
2024.03.07 23:22
0
답글
안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.
네 맞습니다. 평균변화율의 의미를 가지는 식을 극한으로 보내어 한 지점에서의 순간변화율을 구할 수 있습니다.
다만 한 점이 꼭 정점일 필요는 없습니다. 정해진 점으로 수렴하는 두 동점 사이의 평균변화율에 극한을 씌워서 순간변화율을 구할 수도 있습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
네 맞습니다. 평균변화율의 의미를 가지는 식을 극한으로 보내어 한 지점에서의 순간변화율을 구할 수 있습니다.
다만 한 점이 꼭 정점일 필요는 없습니다. 정해진 점으로 수렴하는 두 동점 사이의 평균변화율에 극한을 씌워서 순간변화율을 구할 수도 있습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
2024.03.08 22:51
0
답글
앞선 답변의 내용은 오해의 소지가 있어 추가 설명을 달아드리겠습니다.
질문자께서 함수 f(x)에 대하여 어떤 지점 x=a에서의 미분계수를 구하고자 한다면, 이해하신 바와 같이 점 A(a,f(a))를 고정한 후 오른쪽 또는 왼쪽에서 점 A를 향해 가까워지는 동점과의 기울기를 극한으로 보내어 점 A에서의 미분계수를 구하는 것이 기본입니다. 이는 교과서에서 미분계수가 정의되는 방식이기도 합니다. 즉, 정점과 동점 사이의 평균변화율을 극한으로 보내어 순간변화율을 구하는 것이 교과과정에서는 가장 기본적이고도 중요한 틀이죠. 가지고 계신 책 120p에서는 ‘[고정된 정점 A], [움직이는 동점 P]에 대하여 점 P가 점 A를 향해 동영상처럼 움직이는 모습을 머릿속에 넣자.’라고 설명하고 있습니다.
다만, 다양한 문항들을 접하시다 보면 고정된 점이 아닌, 하나의 정점으로 동시에 가까워지는 두 동점 사이의 평균변화율을 극한으로 보내어 어느 지점에서의 순간변화율을 구하는 경우도 있습니다. p125의 ‘교훈 2’에 이에 대하여 자세히 설명되어 있습니다. lim_{h→0}f(2+h)-f(2-h)/2h 는 x=2에서의 미분계수의 의미를 가지는 것은 맞습니다만 질문자께서는 이 또한 ‘미분계수의 정의’로 오해하시면 안 됩니다. 함수가 미분가능하다면 상관이 없지만, 미분불가능한 함수라면 ‘lim_{h→0}f(2+h)-f(2-h)/2h(평균변화율의 극한)’의 값이 존재하지만 x=2에서 미분불가능할 수도 있기 때문이죠.
정리 : 극한(lim)안의 식이 평균변화율의 형태를 띄고 있다면, 바로 순간변화율로 넘어가기 전에 식이 미분계수의 정의에 부합하는지, 함수가 구하고자 하는 지점에서 미분가능한지 등등 다양한 상황을 종합적으로 판단하며 문제를 풀어야 한다.
질문자께서는 해당 내용을 훌륭하게 이해하실 듯 합니다만, 다소 불분명한 제 답변의 내용이 학습에 혼란을 야기할까 걱정되어 추가로 답변을 달아드립니다:)
질문자께서 함수 f(x)에 대하여 어떤 지점 x=a에서의 미분계수를 구하고자 한다면, 이해하신 바와 같이 점 A(a,f(a))를 고정한 후 오른쪽 또는 왼쪽에서 점 A를 향해 가까워지는 동점과의 기울기를 극한으로 보내어 점 A에서의 미분계수를 구하는 것이 기본입니다. 이는 교과서에서 미분계수가 정의되는 방식이기도 합니다. 즉, 정점과 동점 사이의 평균변화율을 극한으로 보내어 순간변화율을 구하는 것이 교과과정에서는 가장 기본적이고도 중요한 틀이죠. 가지고 계신 책 120p에서는 ‘[고정된 정점 A], [움직이는 동점 P]에 대하여 점 P가 점 A를 향해 동영상처럼 움직이는 모습을 머릿속에 넣자.’라고 설명하고 있습니다.
다만, 다양한 문항들을 접하시다 보면 고정된 점이 아닌, 하나의 정점으로 동시에 가까워지는 두 동점 사이의 평균변화율을 극한으로 보내어 어느 지점에서의 순간변화율을 구하는 경우도 있습니다. p125의 ‘교훈 2’에 이에 대하여 자세히 설명되어 있습니다. lim_{h→0}f(2+h)-f(2-h)/2h 는 x=2에서의 미분계수의 의미를 가지는 것은 맞습니다만 질문자께서는 이 또한 ‘미분계수의 정의’로 오해하시면 안 됩니다. 함수가 미분가능하다면 상관이 없지만, 미분불가능한 함수라면 ‘lim_{h→0}f(2+h)-f(2-h)/2h(평균변화율의 극한)’의 값이 존재하지만 x=2에서 미분불가능할 수도 있기 때문이죠.
정리 : 극한(lim)안의 식이 평균변화율의 형태를 띄고 있다면, 바로 순간변화율로 넘어가기 전에 식이 미분계수의 정의에 부합하는지, 함수가 구하고자 하는 지점에서 미분가능한지 등등 다양한 상황을 종합적으로 판단하며 문제를 풀어야 한다.
질문자께서는 해당 내용을 훌륭하게 이해하실 듯 합니다만, 다소 불분명한 제 답변의 내용이 학습에 혼란을 야기할까 걱정되어 추가로 답변을 달아드립니다:)
2024.03.09 8:10
0
답글
감사합니다!
신고할 시 해당 댓글이 더이상 보이지 않습니다.