안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

문제에서 처음에 주어진 식 x^(log_2 (x))=8x^2에서 x의 제한조건은 다음과 같습니다.

실수 지수의 밑: x>0
로그의 진수: x>0

즉, 문항을 풀기 위해서는 x>0인 모든 실수 x를 고려해야 합니다. 그러나 풀이의 편의를 위해 '도중에' 8=log_x (8)이라는 식을 도입했습니다. 이때 처음으로 x가 로그의 밑이 됩니다. 즉, x≠1이라는 조건은 8=log_x (8)을 이용하기 위해 추가로 제한한 조건에 해당합니다.

따라서 8=log_x (8)을 이용하여 원하는 x의 값을 얻었다면 이는 '방정식의 근 중 x≠1인 것'만 구한 것입니다. 이는 처음부터 x≠1인 경우만 관찰하여 얻은 것이기 때문에, x=1이 근이 아니라는 보장은 해줄 수 없습니다.

그렇다면 x=1인 경우는 어떻게 확인해야 할까요? 정답은 x≠1을 가정하기 전의 식, 즉 당초에 주어진 x^(log_2 (x))=8x^2에 x=1을 대입하여 확인하는 것입니다. 여기에 직접 x=1을 대입해보면 등식이 성립하지 않는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다. 여기까지 확인하고 나서야만 다음과 같이 말할 수 있습니다.

'주어진 방정식의 해는 x≠1인 경우에 구한 것 뿐이다'

처음 공부하는 과정에서 헷갈리기 쉬운 과정 중 하나라고 생각되어서, 더욱 이해하기 쉽게 간단한 예시를 보겠습니다.

Q. 방정식 x^3=x의 해를 구하시오.
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(잘못된 풀이)
x^3=x의 양변에 똑같이 x가 있으므로 x로 나누자.
그러면 x^2=1이므로 이항해서 인수분해하면 (x+1)(x-1)=0.
따라서 구하는 해는 x=-1, 1이다.
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위 과정에서도 식을 변형하는(양변을 x로 나누는) 과정에서 x≠0이라는 가정을 중간에 추가해야만 하는데요, 이를 간과하고 풀면 x=±1이라는 답을 얻게 됩니다. 그러나 원래 방정식에 x=0을 대입하면 0^3=0으로 등식이 성립하기 때문에 정답은 x=0 또는 ±1입니다.

위의 예시와 질문주신 문항 모두 식을 변형하는 과정에서 새로운 조건이 추가됩니다. 이처럼 '동치가 아닌' 식 변형을 하면 기존의 문제와 다른 문제를 풀고 있는 것이 되기 때문에, 식을 변형할 때는 어떠한 조건이 추가되었는지, 그 조건은 따로 확인할 필요가 없는지를 고려하면서 풀이를 진행해야 합니다. 한완수를 이어서 공부해 나가시면 '동치 변형'에 대한 이야기도 다시 다루어질 것입니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.

와... 명쾌한 설명 감사합니다. 이해가 확 되네요.